L'amincissement d'une loi de Poisson

La stratégie : calculer la loi conjointe du couple $(X,N-X)$, et la voir se factoriser. La factorisation en un produit de deux lois de Poisson donnera d'un seul coup les deux lois marginales et l'indépendance : inutile de les établir séparément.

a) La loi conjointe. L'événement $(X=k,N-X=j)$ est exactement $(N=k+j)\cap (X=k)$ : il est arrivé $k+j$ photons, dont $k$ ont été comptés. Comme $P(N=k+j)>0$, la formule des probabilités composées donne $$P(X=k,N-X=j)=P(N=k+j)P(X=k\mid N=k+j)=e^{-\lambda }\frac{{\lambda }^{k+j}}{(k+j)!}\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{k+j}{k}\right)p^k{q}^j,$$ où $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{k+j}{k}\right)$ se lit « k parmi k plus j ». Trois simplifications, chacune élémentaire :

• $\frac{1}{(k+j)!}\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{k+j}{k}\right)=\frac{1}{(k+j)!}\cdot \frac{(k+j)!}{k!j!}=\frac{1}{k!j!}$ ;
• ${\lambda }^{k+j}{p}^k{q}^j=(\lambda p{)}^k(\lambda q{)}^j$ ;
• $e^{-\lambda }=e^{-\lambda p}{e}^{-\lambda q}$, puisque $p+q=1$.

On obtient la factorisation annoncée.

b) Marginales et indépendance. Comme $0\le X\le N$, la variable $N-X$ est à valeurs dans $\mathbb{N}$, et les événements $(N-X=j)$, $j\in \mathbb{N}$, forment un système complet d'événements. La formule des probabilités totales — une somme de termes positifs, qu'on calcule directement — donne $$P(X=k)=\sum _{j=0}^{+\infty }P(X=k,N-X=j)=e^{-\lambda p}\frac{(\lambda p{)}^k}{k!}\sum _{j=0}^{+\infty }{e}^{-\lambda q}\frac{(\lambda q{)}^j}{j!}=e^{-\lambda p}\frac{(\lambda p{)}^k}{k!},$$ la dernière somme valant $1$ (série exponentielle). Donc $X\sim \mathcal{P}(\lambda p)$ et, en sommant cette fois sur $k$, $N-X\sim \mathcal{P}(\lambda q)$. En reportant les deux marginales dans la factorisation du a), $$P(X=k,N-X=j)=P(X=k)P(N-X=j)\text{pour tous }k,j\in \mathbb{N},$$ ce qui est la définition de l'indépendance de deux variables discrètes. Les photons comptés et les photons perdus sont indépendants.

Le point délicat, et il est contre-intuitif. $X$ et $N-X$ sont indépendants alors que leur somme $N$ est aléatoire. Si $N$ valait un entier fixé $n$, $N-X=n-X$ serait une fonction de $X$, donc tout sauf indépendante de $X$. C'est le caractère aléatoire de $N$, et la forme très particulière de la loi de Poisson, qui rendent l'indépendance possible.

c) Ce que le comptage apprend sur l'émission. Comme $P(X=k)>0$, la formule de Bayes, appliquée au système complet $(N=n{)}_{n\in \mathbb{N}}$, donne pour $j\in \mathbb{N}$ $$P(N=k+j\mid X=k)=\frac{P(X=k\mid N=k+j)P(N=k+j)}{P(X=k)}.$$ Le numérateur est la probabilité calculée au a) ; il vaut $e^{-\lambda p}\frac{(\lambda p{)}^k}{k!}{e}^{-\lambda q}\frac{(\lambda q{)}^j}{j!}$, et le dénominateur, d'après le b), est son premier facteur. D'où $$P(N=k+j\mid X=k)=e^{-\lambda q}\frac{(\lambda q{)}^j}{j!}.$$ Pour $n<k$, enfin, $P(N=n\mid X=k)=0$ : on ne compte pas plus de photons qu'il n'en est arrivé. Sachant $(X=k)$, le nombre de photons émis est donc $k$ augmenté d'un nombre de loi de Poisson de paramètre $\lambda q$.

En une ligne. L'événement $(N=k+j)\cap (X=k)$ est $(N-X=j)\cap (X=k)$, et l'indépendance du b) donne $$P(N=k+j\mid X=k)=\frac{P(N-X=j,X=k)}{P(X=k)}=P(N-X=j)=e^{-\lambda q}\frac{(\lambda q{)}^j}{j!}.$$

Interprétation. Compter $k$ photons n'apprend rien sur le nombre de photons perdus : sachant le comptage, il suit la même loi de Poisson de paramètre $\lambda (1-p)$ que sans l'information.

Contrôle chiffré. Pour $\lambda =2$ et $p=0,3$, donc $\lambda p=0,6$ et $\lambda q=1,4$, la somme directe $P(X=k)={\sum }_{n\ge k}{e}^{-2}\frac{2^n}{n!}\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k}\right)(0,3{)}^k(0,7{)}^{n-k}$, calculée sans la factorisation, donne $0,548812$, $0,329287$, $0,098786$ pour $k=0$, $1$, $2$ : exactement $e^{-0,6}\frac{(0,6{)}^k}{k!}$. Et pour $k=1$, la formule de Bayes calculée terme à terme donne $P(N=1\mid X=1)\approx 0,2466$ et $P(N=2\mid X=1)\approx 0,3452$, les valeurs $e^{-1,4}\frac{(1,4{)}^j}{j!}$ pour $j=0$ et $1$.

Ce que l'exercice installe. Une loi conjointe qui se factorise révèle une indépendance cachée. L'amincissement fait de la loi de Poisson le modèle universel des comptages : filtrer au hasard un flux poissonien d'intensité $\lambda$ — un détecteur d'efficacité $p$, une lame séparatrice, un compteur Geiger qui ne voit qu'une partie des désintégrations — redonne un flux poissonien d'intensité $\lambda p$, et le rebut est indépendant du tri. On retrouvera l'amincissement en une ligne, par les fonctions génératrices, à l'exercice 7.