La loi géométrique de bout en bout

Application directe du cours · niveau 1 (application) · mathématiques (PC), chapitre 11 — Espaces Probabilisés et Variables Aléatoires Discrètes · Niveau ★ — application directe du cours

Énoncé

Soit $X \sim G (p)$ . Retrouver $P (X > n) = (1 - p)^{n}$ , puis calculer $E (X)$ par la formule des queues.

Corrigé

$P (X > n) = \sum_{k > n} (1 - p)^{k - 1} p = (1 - p)^{n} p \sum_{j \geq 0} (1 - p)^{j} = (1 - p)^{n}$ (géométrique). Donc, par la formule $E (X) = \sum_{n \geq 1} P (X \geq n)$ : $E (X) = n \geq 1 \sum P (X > n - 1) = n \geq 1 \sum (1 - p)^{n - 1} = \frac{1}{p} .$ (Aucune série dérivée : la formule des queues transforme le calcul en série géométrique pure — à essayer en premier pour toute variable à valeurs dans $N$ .)

Les autres exercices de ce chapitre Le cours du chapitre

Un blocage sur cet exercice ? Le tuteur d'Adloun guide par questions, sans donner la réponse.