mathématiques (PC) · Chapitre 11 · Exercice de TD

La méthode du second moment, et les points fixes d'une permutation

Espaces Probabilisés et Variables Aléatoires Discrètes · C. Espérance, variance et covariance · niveau 3 (difficile)

Énoncé

a) Soit $X$ une variable aléatoire réelle positive telle que $X^{2}$ soit d'espérance finie et $E (X) > 0$ . Montrer que $P (X > 0) \geq \frac{E ( X ) ^{2}}{E ( X ^{2} )},$ et caractériser le cas d'égalité.

b) Soient $n \geq 2$ et $σ$ une permutation aléatoire de $[[1, n]]$ , de loi uniforme sur l'ensemble $S_{n}$ des $n!$ permutations. On note $F_{n}$ son nombre de points fixes. En écrivant $F_{n}$ comme une somme d'indicatrices, montrer que $E (F_{n}) = 1$ , $E (F_{n}^{2}) = 2$ et $V (F_{n}) = 1$ .

c) En déduire que $P (F_{n} \geq 1) \geq \frac{1}{2}$ pour tout $n \geq 2$ , avec égalité pour $n = 2$ seulement. Comparer aux valeurs exactes pour $n = 3$ et $n = 4$ , et à la valeur limite $1 - e^{- 1} \approx 0, 632$ .

Corrigé de la question 1

a) La minoration. Ce qu'on a le droit d'utiliser : si $X^{2}$ est d'espérance finie, $X$ l'est aussi ; l'inégalité de Cauchy-Schwarz, $E (U V)^{2} \leq E (U^{2}) E (V^{2})$ dès que $U^{2}$ et $V^{2}$ sont d'espérance finie ; une variable positive d'espérance nulle est nulle presque sûrement.

L'idée : une écriture exacte. Posons $Z = 1_{(X > 0)}$ . En tout point $ω$ de l'univers, $X = X Z$ : si $X (ω) > 0$ , alors $Z (ω) = 1$ ; sinon $X (ω) = 0$ , puisque $X$ est positive, et les deux membres sont nuls. C'est ici — et seulement ici — que sert la positivité : sans elle, l'événement $(X \neq = 0)$ ne serait pas $(X > 0)$ .

Cauchy-Schwarz. $X^{2}$ est d'espérance finie, et $Z^{2} = Z$ est bornée par $1$ . L'inégalité de Cauchy-Schwarz, appliquée à $X$ et à $Z$ , donne $E (X)^{2} = E (X Z)^{2} \leq E (X^{2}) E (Z^{2}) = E (X^{2}) P (X > 0),$ car $E (Z^{2}) = E (Z) = P (X > 0)$ : l'espérance d'une indicatrice est la probabilité de son événement.

La division est licite. Si l'on avait $E (X^{2}) = 0$ , la variable positive $X^{2}$ serait nulle presque sûrement, donc $X$ aussi, et $E (X)$ serait nulle, contrairement à l'hypothèse. Donc $E (X^{2}) > 0$ , et $P (X > 0) \geq \frac{E ( X ) ^{2}}{E ( X ^{2} )} .$

Le cas d'égalité. Notons $ρ = P (X > 0)$ ; il est strictement positif, sinon $X$ serait nulle presque sûrement. Posons $c = \frac{E ( X )}{ρ} > 0$ et développons, par linéarité, l'espérance du carré de $X - c Z$ , en utilisant $E (X Z) = E (X)$ et $E (Z^{2}) = ρ$ : $E ((X - c Z)^{2}) = E (X^{2}) - 2 c E (X) + c^{2} ρ = E (X^{2}) - \frac{E ( X ) ^{2}}{ρ} .$ Cette identité redonne l'inégalité — son membre de gauche est positif — et dit exactement quand elle est une égalité : si et seulement si la variable positive $(X - c Z)^{2}$ est d'espérance nulle, c'est-à-dire si et seulement si $X = c Z$ presque sûrement. Il y a égalité si et seulement si $X$ ne prend, presque sûrement, que deux valeurs : $0$ et une constante $c > 0$ . Par exemple, pour $X = c 1_{A}$ , le quotient vaut $\frac{c ^{2} P ( A ) ^{2}}{c ^{2} P ( A )} = P (A) = P (X > 0)$ : la constante ne peut pas être améliorée. (C'est le cas d'égalité de Cauchy-Schwarz, au programme, redémontré sous la forme où il sert.)

Question 2 : comment l'IA t'aide

Élève

Pour l'espérance, la linéarité suffit. Pour $E (F_{n}^{2})$ , je voulais passer par $V (F_{n}) = \sum_{i} V (1_{A_{i}})$ , mais les événements $A_{i}$ ne sont pas indépendants.

Exact, l'additivité des variances est exclue ici. Développe plutôt $F_{n}^{2}$ comme le carré d'une somme d'indicatrices : quels types de termes obtiens-tu, et comment se simplifient $1_{A_{i}}^{2}$ et $1_{A_{i}} 1_{A_{j}}$ ?

Élève

On a $1_{A_{i}}^{2} = 1_{A_{i}}$ et $1_{A_{i}} 1_{A_{j}} = 1_{A_{i} \cap A_{j}}$ . Il me faut donc $P (A_{i} \cap A_{j})$ pour $i \neq = j$ .

La variance suivra par la formule de König-Huygens. Mais d'abord : combien de permutations fixent à la fois $i$ et $j$ , et combien de couples $(i, j)$ d'indices distincts figurent dans la somme ?

L'IA ne donne pas la réponse : elle pose la question qui fait avancer. À toi de continuer.

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Reprends la question 2 là où le dialogue s'arrête, puis la suite de l'exercice.

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