Le lemme de Borel–Cantelli

Ce qu'on a le droit d'utiliser. La stabilité d'une tribu par les opérations dénombrables et leur traduction par les quantificateurs ; la croissance de la probabilité, la sous-additivité dénombrable, la continuité décroissante ; l'indépendance d'une famille finie d'événements, qui se transmet aux événements contraires. Le lemme de Borel–Cantelli n'est pas un théorème du cours : on le démontre.

a) Ce que dit $L$. $L$ est un événement : chaque réunion dénombrable $B_n={\bigcup }_{k\ge n}{A}_k$ appartient à la tribu, et l'intersection dénombrable des $B_n$ aussi. Une intersection se lit « pour tout », une réunion « il existe » : $$\omega \in L⟺\forall n\in \mathbb{N},\exists k\ge n,\omega \in A_k.$$ Notons $K(\omega )=\{k\in \mathbb{N}\mid \omega \in A_k\}$ l'ensemble des indices des événements réalisés par $\omega$. La phrase dit : au-delà de tout rang $n$, il reste un élément de $K(\omega )$ ; autrement dit, $K(\omega )$ n'est pas majoré. Or une partie de $\mathbb{N}$ est infinie si et seulement si elle n'est pas majorée : majorée par $N$, elle est incluse dans $[[0,N]]$, donc finie ; finie et non vide, elle a un plus grand élément. Donc $L$ est l'événement « une infinité des $A_n$ sont réalisés ».

Par les lois de De Morgan, passer au contraire échange les deux quantificateurs : $$\overline{L}=\bigcup _{n\ge 0}\bigcap _{k\ge n}\overline{A_k}.$$ $$\omega \in \overline{L}⟺\exists n\in \mathbb{N},\forall k\ge n,\omega \notin A_k.$$ C'est l'événement « à partir d'un certain rang, aucun $A_k$ n'est réalisé », c'est-à-dire « seul un nombre fini des $A_n$ est réalisé ».

b) Le premier lemme. La stratégie : inclure $L$ dans un événement dont on sait majorer la probabilité, puis faire tendre le rang vers l'infini. Par définition de l'intersection, $L\subset B_n$ pour tout $n$. Par croissance de la probabilité, puis par sous-additivité dénombrable, $$P(L)\le P(B_n)\le \sum _{k=n}^{+\infty }P(A_k).$$ Le majorant est le reste d'ordre $n$ d'une série convergente : il tend vers $0$. Le nombre positif $P(L)$, indépendant de $n$, est majoré par une suite de limite nulle : $P(L)=0$. Ce premier lemme n'utilise aucune indépendance.

c) Le second lemme. La stratégie : montrer que $\overline{L}$ est négligeable. D'après le a), c'est la réunion dénombrable des $C_n={\bigcap }_{k\ge n}\overline{A_k}$ ; par sous-additivité, il suffit que chaque $C_n$ soit négligeable. Et $C_n$ est la limite décroissante d'intersections finies, sur lesquelles l'indépendance travaille.

L'inégalité, à $n\le m$ fixés. Les événements $A_n,\dots ,A_m$ sont mutuellement indépendants, donc leurs contraires aussi (cours : si $A$ et $B$ sont indépendants, $\overline{A}$ et $B$ le sont, et cela s'étend à $n$ événements). D'où $$P\left(\bigcap _{k=n}^m\overline{A_k}\right)=\prod _{k=n}^m(1-P(A_k)).$$ Or $1-x\le e^{-x}$ pour tout réel $x$ : la fonction $g:x\mapsto e^{-x}-1+x$ a pour dérivée $1-e^{-x}$, négative puis positive, donc son minimum est $g(0)=0$ (la courbe de l'exponentielle, convexe, est au-dessus de sa tangente). On multiplie membre à membre ces inégalités entre nombres positifs : $$\prod _{k=n}^m(1-P(A_k))\le \prod _{k=n}^m{e}^{-P(A_k)}=\exp (-\sum _{k=n}^{m}P(A_k)).$$

Le passage à la limite en $m$. À $n$ fixé, les événements $D_m={\bigcap }_{k=n}^m\overline{A_k}$, $m\ge n$, forment une suite décroissante dont l'intersection est $C_n$. Par continuité décroissante, puis par l'inégalité précédente, $$P(C_n)=\underset{m\to +\infty }{\lim }P(D_m)\le \underset{m\to +\infty }{\lim }\exp (-\sum _{k=n}^{m}P(A_k))=0,$$ car la série à termes positifs $\sum P(A_k)$ diverge : ses sommes partielles tendent vers $+\infty$, même privées de leurs premiers termes. Chaque $C_n$ est donc négligeable, et par sous-additivité dénombrable $P(\overline{L})\le {\sum }_{n\ge 0}P(C_n)=0$. Donc $P(L)=1$ : presque sûrement, une infinité des $A_n$ sont réalisés.

Le point délicat : l'indépendance est indispensable. Prenons un événement $A$ de probabilité $\frac{1}{2}$ et $A_n=A$ pour tout $n$. La série $\sum P(A_n)$ diverge, et pourtant $L=A$, de probabilité $\frac{1}{2}$. L'hypothèse a servi au moment où l'on a écrit la probabilité d'une intersection comme un produit, et nulle part ailleurs.

d) Des pièces de plus en plus rarement pile. Notons $A_n$ l'événement « la $n$-ième pièce donne pile » : les $A_n$ sont indépendants, $P(A_n)=p_n$, et le nombre de piles est infini exactement sur $L$.

Pour $p_n=\frac{1}{n^2}$, la série converge (Riemann) : par le premier lemme, presque sûrement, on n'obtient qu'un nombre fini de piles. Contrôle exact : pour $2\le N\le M$, par indépendance puis télescopage, $$\prod _{k=N}^M(1-\frac{1}{k^2})=\prod _{k=N}^M\frac{k-1}{k}\cdot \prod _{k=N}^M\frac{k+1}{k}=\frac{N-1}{M}\cdot \frac{M+1}{N}.$$ C'est la probabilité de n'obtenir aucun pile entre les rangs $N$ et $M$ ; elle tend vers $\frac{N-1}{N}$ quand $M$ tend vers $+\infty$, donc, par continuité décroissante, la probabilité d'obtenir au moins un pile à partir du rang $N$ vaut $\frac{1}{N}$, qui tend bien vers $0$ — pour $N=2$, $\frac{1}{2}$, sous le majorant ${\sum }_{k\ge 2}\frac{1}{k^2}\approx 0,645$ de la sous-additivité.

Pour $p_n=\frac{1}{n}$, la série harmonique diverge et les $A_n$ sont indépendants : par le second lemme, presque sûrement, on obtient une infinité de piles (le calcul exact donne ${\prod }_{k=N}^M\frac{k-1}{k}=\frac{N-1}{M}$, qui tend vers $0$). Dans les deux cas $p_n$ tend vers $0$ ; c'est la vitesse qui tranche, à travers la nature de la série. Le nombre moyen de piles parmi les $M$ premiers lancers vaut, par linéarité, ${\sum }_{k=1}^M\frac{1}{k}\sim \ln M$ : environ $7,5$ sur mille lancers.

e) Le singe dactylographe. On modélise le jeu par une suite $(X_i{)}_{i\ge 1}$ de variables de Bernoulli indépendantes de paramètre $\frac{1}{2}$, comme le cours le prévoit pour le pile ou face infini.

$k$ piles consécutifs. Découpons les lancers en blocs disjoints : le bloc $j\ge 0$ est formé des lancers $jk+1,\dots ,jk+k$. Soit $E_j$ l'événement « le bloc $j$ ne contient que des piles » : par indépendance, $P(E_j)=2^{-k}$. Les $E_j$ sont mutuellement indépendants : pour $j_1<\cdots <j_r$, les indicatrices de $E_{j_1},\dots ,E_{j_r}$ sont fonctions de paquets disjoints de variables indépendantes, donc indépendantes par le lemme des coalitions (étendu à plusieurs coalitions). Enfin ${\sum }_{j}P(E_j)=+\infty$. Le second lemme s'applique : presque sûrement, une infinité de blocs ne contiennent que des piles, et a fortiori la séquence apparaît une infinité de fois.

Une séquence fixée. Rien ne dépendait du fait que la séquence soit faite de piles : pour une séquence $w$ de longueur $k$, « le bloc $j$ reproduit $w$ » a encore la probabilité $2^{-k}$, et l'événement $L_w$ « $w$ apparaît une infinité de fois » est presque sûr.

Toutes les séquences à la fois. Il y a $2^k$ séquences de longueur $k$. Le contraire de « toute séquence finie apparaît une infinité de fois » est une réunion dénombrable (sur $k\ge 1$) de réunions finies (sur les $2^k$ séquences $w$) des événements négligeables $\overline{L_w}$ : par sous-additivité, finie puis dénombrable, il est négligeable. Presque sûrement, toute séquence finie apparaît une infinité de fois. Un singe qui tape au hasard et sans fin sur un clavier écrit presque sûrement, une infinité de fois, le texte complet de Shakespeare. Presque sûrement, non certainement : la suite « que des faces » appartient à l'univers, elle est seulement de probabilité nulle.

Ce que l'exercice installe. « Une infinité de fois » s'écrit ${\bigcap }_n{\bigcup }_{k\ge n}{A}_k$, « à partir d'un certain rang » ${\bigcup }_n{\bigcap }_{k\ge n}$ : les quantificateurs se calculent. La convergence de $\sum P(A_n)$ rend presque sûr « un nombre fini seulement » ; la divergence ne donne le contraire qu'avec l'indépendance. Le TD 6 lit la même dichotomie sur les produits infinis : $\prod (1-p_n)$ reste strictement positif exactement quand $\sum p_n$ converge. C'est la forme mathématique d'une intuition de physicien : un événement rare mais possible, répété indépendamment sans fin, finit par se produire — si sa probabilité ne décroît pas trop vite.