Le minimum de deux géométriques indépendantes

Ce qu'on a le droit d'utiliser. La relation $P(X>n)=q^n$ du cours, et la définition de l'indépendance de deux variables : pour toutes parties $A$ et $B$, les événements $(X\in A)$ et $(Y\in B)$ sont indépendants.

a) La loi du minimum, par les queues. La stratégie : ne pas calculer $P(Z=k)$ directement — l'événement « le minimum vaut $k$ » se découpe en trois cas —, mais passer par la queue $P(Z>n)$, qui est une intersection. Le minimum de deux entiers dépasse $n$ si et seulement si chacun des deux le dépasse : $$(Z>n)=(X>n)\cap (Y>n).$$ Les événements $(X>n)$ et $(Y>n)$ sont indépendants, puisque $X$ et $Y$ le sont. Donc $$P(Z>n)=P(X>n)P(Y>n)=q^n{q}^{\prime n}=(q{q}^{\prime }{)}^n.$$ Les queues déterminent la loi sur ${\mathbb{N}}^{\ast }$ : pour $k\ge 1$, $P(Z=k)=P(Z>k-1)-P(Z>k)=(q{q}^{\prime }{)}^{k-1}(1-q{q}^{\prime })$. Comme $q{q}^{\prime }\in ]0,1[$, $Z$ suit la loi géométrique de paramètre $r=1-q{q}^{\prime }=p+p^{\prime }-p{p}^{\prime }$. Lecture : le noyau passe une seconde de plus si et seulement si aucune des deux voies ne se déclenche, ce qui arrive avec la probabilité $q{q}^{\prime }$.

b) Quelle voie l'emporte ? Probabilités totales sur le système complet $(X=k{)}_{k\ge 1}$ : l'événement $(X<Y)\cap (X=k)$ est $(X=k)\cap (Y>k)$, et par indépendance $$P(X<Y)=\sum _{k=1}^{+\infty }P(X=k)P(Y>k)=\sum _{k=1}^{+\infty }p{q}^{k-1}{q}^{\prime k}=p{q}^{\prime }\sum _{k=1}^{+\infty }(q{q}^{\prime }{)}^{k-1}=\frac{p{q}^{\prime }}{r}.$$ Par symétrie des rôles, $P(Y<X)=\frac{p^{\prime }q}{r}$. Et de même $$P(X=Y)=\sum _{k=1}^{+\infty }p{q}^{k-1}{p}^{\prime }{q}^{\prime k-1}=\frac{p{p}^{\prime }}{r}.$$ Contrôle : les trois événements forment un système complet, et en effet la somme vaut $\frac{p{q}^{\prime }+p^{\prime }q+p{p}^{\prime }}{r}=\frac{p+p^{\prime }-p{p}^{\prime }}{r}=1$.

c) L'instant et la voie sont indépendants. Pour $k\ge 1$, l'événement $(Z=k)\cap (X<Y)$ est $(X=k)\cap (Y>k)$ : la première voie se déclenche à la seconde $k$, la seconde voie pas encore. Par indépendance, $$P(Z=k,X<Y)=p{q}^{k-1}{q}^{\prime k}.$$ Par ailleurs, d'après a) et b), $$P(Z=k)P(X<Y)=r(q{q}^{\prime }{)}^{k-1}\cdot \frac{p{q}^{\prime }}{r}=p{q}^{k-1}{q}^{\prime k}.$$ Les deux coïncident pour tout $k$ : l'instant de la désintégration ne renseigne pas sur la voie empruntée. En sommant sur $k\in A$, l'égalité s'étend à tous les événements $(Z\in A)$.

d) Les chiffres. Pour $p=0,1$ et $p^{\prime }=0,2$ : $r=1-0,9\times 0,8=0,28$, $P(X<Y)=\frac{0,08}{0,28}\approx 0,2857$, $P(Y<X)\approx 0,6429$, $P(X=Y)\approx 0,0714$ — total $1$ —, contre $\frac{p}{p+p^{\prime }}=\frac{1}{3}$. Pour $p=0,01$ et $p^{\prime }=0,02$ : $r=0,0298$, $P(X<Y)\approx 0,3289$ et $P(X=Y)\approx 0,0067$. Quand les probabilités par seconde deviennent petites — quand on observe le noyau de plus en plus souvent —, les égalités deviennent rares et $P(X<Y)$ s'approche de $\frac{p}{p+p^{\prime }}$ : c'est le rapport de branchement du physicien.

Ce que l'exercice installe. On identifie une loi par ses queues, et l'indépendance multiplie les queues : c'est le réflexe pour tout minimum de variables indépendantes. Deux voies de désintégration indépendantes se combinent en une loi géométrique de paramètre $1-(1-p)(1-p^{\prime })\approx p+p^{\prime }$ : les probabilités de désintégration par unité de temps s'ajoutent, la voie choisie est indépendante de l'instant, et les rapports de branchement se lisent sur les proportions des constantes.