Points fixes d'une permutation : moyenne et variance 1

Stratégie : ne jamais chercher la loi de $F_n$. Elle est compliquée. La décomposition en indicatrices donne l'espérance par simple linéarité, et la variance par la formule de la variance d'une somme, qui ne réclame que deux dénombrements : $P(A_i)$ et $P(A_i\cap A_j)$. À aucun moment l'indépendance n'est requise — et de fait, elle est fausse ici.

Cadre : $\Omega ={\mathfrak{S}}_n$, l'ensemble des permutations de $[[1,n]]$, muni de la probabilité uniforme, $|\Omega |=n!$. Pour $i\in [[1,n]]$, on pose $A_i=(\sigma (i)=i)$, de sorte que

$$F_n=\sum _{i=1}^n{1}_{A_i}.$$

On suppose $n\ge 2$ (voir le point 4).

1. Les deux dénombrements.

• $|A_i|=(n-1)!$ : la valeur en $i$ est imposée, les $n-1$ autres se permutent librement. Donc $P(A_i)=\frac{(n-1)!}{n!}=\frac{1}{n}$.
• pour $i\ne j$ : $|A_i\cap A_j|=(n-2)!$, donc $P(A_i\cap A_j)=\frac{(n-2)!}{n!}=\frac{1}{n(n-1)}$.

2. L'espérance. Une indicatrice a pour espérance la probabilité de son événement : $E(1_{A_i})=P(A_i)=\frac{1}{n}$. Par linéarité de l'espérance (qui ne demande aucune indépendance) :

$$E(F_n)=\sum _{i=1}^{n}P(A_i)=n\times \frac{1}{n}=1.$$

3. La variance. Pour une indicatrice, $1_{A_i}^2=1_{A_i}$, donc

$$V(1_{A_i})=E\left(1_{A_i}^2\right)-E(1_{A_i}{)}^2=P(A_i)-P(A_i{)}^2=\frac{1}{n}\left(1-\frac{1}{n}\right).$$

De même $1_{A_i}{1}_{A_j}=1_{A_i\cap A_j}$, d'où pour $i\ne j$ :

$$\mathrm{Cov}\left(1_{A_i},1_{A_j}\right)=P(A_i\cap A_j)-P(A_i)P(A_j)=\frac{1}{n(n-1)}-\frac{1}{n^2}=\frac{n-(n-1)}{n^2(n-1)}=\frac{1}{n^2(n-1)}>0.$$

Cette covariance est strictement positive : les $A_i$ ne sont donc pas indépendants — savoir que $i$ est un point fixe augmente la chance que $j$ en soit un (il reste une valeur de moins à mal placer). La formule de la variance d'une somme, avec $n$ termes de variance et $n(n-1)$ couples ordonnés $(i,j)$ avec $i\ne j$, donne

$$V(F_n)=\sum _{i=1}^{n}V(1_{A_i})+\sum _{i\ne j}\mathrm{Cov}\left(1_{A_i},1_{A_j}\right)=n\cdot \frac{1}{n}\left(1-\frac{1}{n}\right)+n(n-1)\cdot \frac{1}{n^2(n-1)},$$

$$V(F_n)=\left(1-\frac{1}{n}\right)+\frac{1}{n}=1.$$

Le point délicat est cette compensation exacte : le déficit $-\frac{1}{n}$ de variance individuelle est rattrapé, au terme près, par la corrélation positive entre points fixes.

4. Le cas $n=1$. ${\mathfrak{S}}_1$ n'a qu'un élément et $F_1=1$ presque sûrement : $E(F_1)=1$, mais $V(F_1)=0$. L'énoncé n'est donc valable, pour la variance, qu'à partir de $n=2$ — ce que le calcul du 3 supposait déjà, puisqu'il utilise $P(A_i\cap A_j)$ avec $i\ne j$.

Contrôle chiffré (énumération exhaustive, en fractions exactes).

• $n=2$ : les deux permutations donnent $F=2$ (l'identité) et $F=0$ (la transposition), chacune de probabilité $\frac{1}{2}$. $E=1$, $E(F^2)=2$, $V=2-1=1$ ✓.
• $n=3$ : $F=3$ une fois, $F=1$ trois fois (les transpositions), $F=0$ deux fois (les deux $3$-cycles). $E=\frac{3+3+0}{6}=1$, $E(F^2)=\frac{9+3+0}{6}=2$, $V=1$ ✓.
• Énumération complète des $n!$ permutations pour $n=2,\dots ,8$ : dans les sept cas, $E(F_n)=1$ et $V(F_n)=1$ exactement (calcul en fractions, sans arrondi) ✓ ; et pour $n=1$, on retrouve bien $E=1$, $V=0$.

Ce qui est acquis. Le schéma « indicatrices $\to$ linéarité $\to$ covariances » est le seul outil nécessaire, et il fonctionne sans indépendance. Observation notable : $E(F_n)=V(F_n)=1$ pour tout $n\ge 2$, quelle que soit la taille — ce sont les deux premiers moments d'une loi de Poisson de paramètre $1$. La formule du crible donne d'ailleurs $P(F_n=0)={\sum }_{k=0}^n\frac{(-1{)}^k}{k!}$ (le nombre de dérangements), qui vaut $0,366667$ pour $n=5$ et $0,367882$ pour $n=8$, à comparer à $e^{-1}=0,367879$.