Points fixes d'une permutation : moyenne et variance 1

Points fixes d'une permutation aléatoire uniforme de $[[1,n]]$ : soit $F_n$ leur nombre. Montrer que $E(F_n)=1$ et $V(F_n)=1$ (indicatrices $F_n=\sum 1_{(\sigma (i)=i)}$ : $E=n\cdot \frac{1}{n}=1$ ; pour la variance, $P(\sigma (i)=i,\sigma (j)=j)=\frac{1}{n(n-1)}$, sommer variances et covariances : $(1-\frac{1}{n})+n(n-1)[\frac{1}{n(n-1)}-\frac{1}{n^2}]=1$ — en moyenne un point fixe, quelle que soit la taille).