mathématiques (PC) · Chapitre 11 · Application directe du cours

Somme de lois de Poisson et Loi Conditionnelle

Espaces Probabilisés et Variables Aléatoires Discrètes · Z. Problèmes de concours corrigés · ★★★ niveau 3 (difficile)

Énoncé

Soient $X_1\sim \mathcal{P}({\lambda }_1)$ et $X_2\sim \mathcal{P}({\lambda }_2)$ deux variables de Poisson indépendantes. Montrer que $S=X_1+X_2\sim \mathcal{P}({\lambda }_1+{\lambda }_2)$ et que $(X_1\mid S=n)\sim \mathcal{B}\left(n,\frac{{\lambda }_1}{{\lambda }_1+{\lambda }_2}\right)$.

Corrigé

1. Par produit des fonctions génératrices : $$G_S(t)=G_{X_1}(t)G_{X_2}(t)={\mathrm{e}}^{{\lambda }_1(t-1)}{\mathrm{e}}^{{\lambda }_2(t-1)}={\mathrm{e}}^{({\lambda }_1+{\lambda }_2)(t-1)}⟹S\sim \mathcal{P}({\lambda }_1+{\lambda }_2).$$
2. Loi conditionnelle de $X_1$ sachant $(S=n)$ : $$P(X_1=k\mid S=n)=\frac{P(X_1=k)P(X_2=n-k)}{P(S=n)}=\frac{{\mathrm{e}}^{-{\lambda }_1}\frac{{\lambda }_1^k}{k!}{\mathrm{e}}^{-{\lambda }_2}\frac{{\lambda }_2^{n-k}}{(n-k)!}}{{\mathrm{e}}^{-({\lambda }_1+{\lambda }_2)}\frac{({\lambda }_1+{\lambda }_2{)}^n}{n!}}$$ $$=\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k}\right)\frac{{\lambda }_1^k{\lambda }_2^{n-k}}{({\lambda }_1+{\lambda }_2{)}^n}=\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k}\right){\left(\frac{{\lambda }_1}{{\lambda }_1+{\lambda }_2}\right)}^k{\left(\frac{{\lambda }_2}{{\lambda }_1+{\lambda }_2}\right)}^{n-k}.$$ On reconnaît exactement la loi binomiale $\mathcal{B}\left(n,\frac{{\lambda }_1}{{\lambda }_1+{\lambda }_2}\right)$.