Sommes aléatoires : $G_S=G_N\circ G_X$ et la formule de Wald

a) La génératrice d'une somme aléatoire. La stratégie : décomposer selon la valeur de $N$ (probabilités totales), factoriser grâce à l'indépendance, puis intervertir deux sommes — ce que la sommabilité autorise.

La loi de $S$. Les événements $(N=n)$, $n\in \mathbb{N}$, forment un système complet. Sur $(N=n)$, $S=S_n$, donc $(N=n)\cap (S=k)=(N=n)\cap (S_n=k)$ ; et $S_n$, fonction de $(X_1,\dots ,X_n)$, est indépendante de $N$ par le lemme des coalitions. La formule des probabilités totales s'écrit donc $$P(S=k)=\sum _{n=0}^{+\infty }P(N=n)P(S_n=k).$$

La génératrice. Soit $t\in [-1,1]$. La famille $(P(N=n)P(S_n=k)t^k{)}_{(n,k)\in {\mathbb{N}}^2}$ est sommable : par Fubini positif, la somme de ses valeurs absolues vaut $$\sum _{n=0}^{+\infty }P(N=n)\sum _{k=0}^{+\infty }P(S_n=k)|t{|}^k\le \sum _{n=0}^{+\infty }P(N=n)=1.$$ Le théorème de Fubini pour les familles sommables autorise alors à sommer d'abord en $k$ : $$G_S(t)=\sum _{k=0}^{+\infty }P(S=k)t^k=\sum _{n=0}^{+\infty }P(N=n)G_{S_n}(t).$$ Or la génératrice d'une somme finie de variables indépendantes est le produit des génératrices : $G_{S_n}=(G_X{)}^n$, y compris pour $n=0$. Comme $|G_X(t)|\le 1$, $G_N$ est définie en $G_X(t)$, et $$G_S(t)=\sum _{n=0}^{+\infty }P(N=n)(G_X(t){)}^n=G_N(G_X(t)).$$ La génératrice d'une somme d'un nombre aléatoire de termes indépendants est une composée.

b) La formule de Wald, par dérivation en chaîne. Si $X_1=0$ presque sûrement, $S=0$ presque sûrement et les deux membres sont nuls. Sinon, il existe $k\ge 1$ tel que $P(X_1=k)>0$, et pour $t\in [0,1[$, $0\le G_X(t)<1$, le terme $P(X_1=k)t^k$ étant strictement inférieur à $P(X_1=k)$.

Comme $N$ et $X_1$ sont d'espérance finie, $G_N$ et $G_X$ sont dérivables en $1$, de nombres dérivés $E(N)$ et $E(X_1)$. Pour $t\in [0,1[$, on écrit le taux d'accroissement de la composée comme un produit, licite puisque $G_X(t)\ne 1$ : $$\frac{G_S(t)-G_S(1)}{t-1}=\frac{G_N(G_X(t))-G_N(1)}{G_X(t)-1}\cdot \frac{G_X(t)-1}{t-1}.$$ Quand $t$ tend vers $1$ par valeurs inférieures, $G_X(t)$ tend vers $1$ par continuité de $G_X$, en restant dans $[0,1[$ ; le premier facteur tend donc vers $G_N^{\prime }(1)=E(N)$, et le second vers $G_X^{\prime }(1)=E(X_1)$. Ainsi $G_S$ est dérivable en $1$, de nombre dérivé $E(N)E(X_1)$ ; par le théorème du cours — une variable à valeurs dans $\mathbb{N}$ est d'espérance finie si et seulement si sa génératrice est dérivable en $1$ —, $S$ est d'espérance finie et $E(S)=E(N)E(X_1)$.

Un second chemin, pour contrôle. Sans génératrices : tout est positif, et Fubini positif permet d'écrire, avec la loi de $S$ obtenue au a), $$E(S)=\sum _{k=0}^{+\infty }k\sum _{n=0}^{+\infty }P(N=n)P(S_n=k)=\sum _{n=0}^{+\infty }P(N=n)E(S_n)=\sum _{n=0}^{+\infty }nP(N=n)E(X_1)=E(N)E(X_1).$$ Chaque étape est une interversion de sommes positives ou une linéarité finie, et le calcul prouve en même temps que $E(S)$ est finie. Aucune espérance conditionnelle n'a été nécessaire — la notion est d'ailleurs hors programme.

c) L'amincissement en une ligne. Avec $G_N(u)=e^{\lambda (u-1)}$ et $G_X(t)=1-p+pt$, on obtient $G_S(t)=e^{\lambda (1-p+pt-1)}=e^{\lambda p(t-1)}$, génératrice de la loi $\mathcal{P}(\lambda p)$ ; la génératrice caractérisant la loi, $S\sim \mathcal{P}(\lambda p)$. C'est le nombre de photons comptés de l'exercice 3, où $X_i$ vaut $1$ si le $i$-ième photon est compté. L'indépendance entre photons comptés et perdus, elle, demandait la loi conjointe.

d) La cascade du photomultiplicateur. Notons ${\xi }_{j,i}$ le nombre d'électrons arrachés à la dynode $j$ par le $i$-ième électron incident : $Z_j={\sum }_{i=1}^{Z_{j-1}}{\xi }_{j,i}$ est une somme aléatoire du type étudié, avec $N=Z_{j-1}$ et des ${\xi }_{j,i}$ i.i.d. de génératrice $g$, indépendants de $Z_{j-1}$. Le a) donne $G_{Z_j}=G_{Z_{j-1}}\circ g$ et, comme $G_{Z_0}(t)=t$, une récurrence donne $G_{Z_j}=g\circ g\circ \cdots \circ g$, avec $j$ facteurs. La formule de Wald, appliquée à chaque étage — par récurrence, $Z_{j-1}$ est d'espérance finie —, donne $E(Z_j)=mE(Z_{j-1})$, d'où $E(Z_j)=m^j$ : le gain croît géométriquement avec le nombre de dynodes. Pour $m=4$ et dix dynodes, $4^{10}=1048576$ : un photon unique produit en moyenne un million d'électrons, un courant mesurable.

Ce que l'exercice installe. La génératrice transforme une somme d'un nombre aléatoire de termes en une composée, et la dérivation en chaîne en $1$ donne $E(S)=E(N)E(X_1)$, sans espérance conditionnelle. C'est le moteur des cascades et des réactions en chaîne : un photomultiplicateur multiplie le nombre moyen d'électrons par $m$ à chaque dynode ; dans un réacteur, si chaque fission en provoque en moyenne $k$ autres, la $j$-ième génération compte en moyenne $k^j$ fissions, et le réacteur est critique pour $k=1$. Les processus de branchement de Galton–Watson généralisent ce schéma.