Codiagonalisation : une base propre commune

Ce qu'on a le droit d'utiliser. La proposition de stabilité par commutation — si deux endomorphismes commutent, le noyau de l'un est stable par l'autre —, la proposition « l'endomorphisme induit par un endomorphisme diagonalisable sur un sous-espace stable est diagonalisable », et le théorème fondamental : $u$ diagonalisable équivaut à $E={⨁}_{\lambda \in \mathrm{Sp}(u)}{E}_{\lambda }(u)$.

La stratégie. Découper $E$ selon $u$, diagonaliser $v$ morceau par morceau, recoller. Les deux théorèmes phares du chapitre — stabilité par commutation, diagonalisabilité de l'induit — travaillent ensemble.

a) La stabilité. L'endomorphisme $u-\lambda {\mathrm{id}}_E$ commute avec $v$ : $(u-\lambda {\mathrm{id}}_E)v=uv-\lambda v=vu-\lambda v=v(u-\lambda {\mathrm{id}}_E)$. Son noyau, $E_{\lambda }(u)$, est donc stable par $v$ : si $x\in E_{\lambda }(u)$, alors $(u-\lambda {\mathrm{id}}_E)(v(x))=v((u-\lambda {\mathrm{id}}_E)(x))=v(0)=0$.

b) L'induit est diagonalisable. C'est la proposition du cours, dont on rappelle l'argument : le polynôme ${\prod }_{\mu \in \mathrm{Sp}(v)}(X-\mu )$ annule $v$, donc il annule aussi $v_{\lambda }$, qui n'est que la restriction de $v$ à $E_{\lambda }(u)$ ; il est scindé à racines simples, donc $v_{\lambda }$ est diagonalisable.

c) Le recollement. Comme $u$ est diagonalisable, $E={⨁}_{\lambda \in \mathrm{Sp}(u)}{E}_{\lambda }(u)$. Dans chaque $E_{\lambda }(u)$, choisissons une base ${\mathcal{B}}_{\lambda }$ formée de vecteurs propres de $v_{\lambda }$, ce que permet le b). Un vecteur $x$ de ${\mathcal{B}}_{\lambda }$ est dans $E_{\lambda }(u)$, donc vecteur propre de $u$ pour $\lambda$ ; et il vérifie $v(x)=v_{\lambda }(x)=\mu x$ pour un scalaire $\mu$, donc c'est un vecteur propre de $v$. La concaténation des ${\mathcal{B}}_{\lambda }$ est une base de $E$, adaptée à la somme directe : c'est une base de vecteurs propres communs à $u$ et à $v$.

d) La réciproque. Si $(e_1,\dots ,e_n)$ est une base avec $u(e_k)={\lambda }_k{e}_k$ et $v(e_k)={\mu }_k{e}_k$, alors $uv(e_k)={\lambda }_k{\mu }_k{e}_k=vu(e_k)$ pour tout $k$. Deux applications linéaires qui coïncident sur une base sont égales : $uv=vu$.

e) Un exemple dégénéré. Multiplier $B$ à gauche par $A=\mathrm{diag}(1,1,2)$ multiplie ses lignes par $1$, $1$, $2$ ; la multiplier à droite multiplie ses colonnes par $1$, $1$, $2$. Comme les seuls coefficients non nuls de $B$ hors du coin $(3,3)$ sont dans les deux premières lignes et les deux premières colonnes, les deux produits valent $$AB=BA=\left(\begin{array}{ccc}0& 1& 0\\ 1& 0& 0\\ 0& 0& 6\end{array}\right).$$ Les sous-espaces propres de $A$ sont le plan $E_1(A)=\mathrm{Vect}(e_1,e_2)$ et la droite $E_2(A)=\mathrm{Vect}(e_3)$ ; d'après le a), $B$ les laisse stables. Sur le plan, l'induit a pour matrice $\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ 1& 0\end{array}\right)$ dans la base $(e_1,e_2)$ : il échange les deux vecteurs, fixe $e_1+e_2$ et change $e_1-e_2$ en son opposé. Sur la droite, $B{e}_3=3e_3$. D'où la base de vecteurs propres communs $$(1,1,0),(1,-1,0),(0,0,1),$$ pour lesquels les valeurs propres de $A$ sont $1$, $1$, $2$, et celles de $B$ sont $1$, $-1$, $3$.

La base canonique est propre pour $A$ — dans le plan $E_1(A)$, toute base est propre pour $A$ — mais pas pour $B$ : $B{e}_1=e_2$ n'est pas colinéaire à $e_1$. Parmi toutes les bases propres de $A$, une seule direction de chaque espèce convient à $B$ : on dit que $B$ lève la dégénérescence de la valeur propre double de $A$.

Ce que l'exercice installe. Deux endomorphismes diagonalisables qui commutent se diagonalisent dans une même base : $v$ stabilise les sous-espaces propres de $u$, on y induit, on recolle. En mécanique quantique, deux observables qui commutent ont une base propre commune, et la seconde lève la dégénérescence de la première : c'est ainsi qu'on étiquette les états d'un atome par plusieurs nombres quantiques à la fois.