Décomposition D + N et puissances

Éléments propres. $A$ est triangulaire : ${\chi }_A=(X-2{)}^2$, et $\mathrm{Sp}(A)=\{2\}$ avec la multiplicité $2$. La matrice $A-2I_2=\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ 0& 0\end{array}\right)$ est de rang $1$ : $E_2(A)=\ker (A-2I_2)=\mathrm{Vect}(e_1)$ est une droite. Comme $\dim E_2(A)=1<2$, $A$ n'est pas diagonalisable.

La décomposition. On écrit $$A=\underset{D}{\underbrace{2I_2}}+\underset{N}{\underbrace{\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ 0& 0\end{array}\right)}},$$ avec $N^2=0$ ; et $D=2I_2$ commute avec toute matrice, en particulier avec $N$.

Les puissances. Comme $D$ et $N$ commutent, la formule du binôme s'applique, et tous les termes qui contiennent $N^k$ avec $k\ge 2$ sont nuls : $$A^n=(2I_2+N{)}^n=2^n{I}_2+n{2}^{n-1}N=\left(\begin{array}{cc}{2}^n& n{2}^{n-1}\\ 0& 2^n\end{array}\right).$$ Contrôle : pour $n=1$ on retrouve $A$, et pour $n=0$ la matrice $I_2$.

Une seconde route. Le théorème de Cayley-Hamilton dit que $(X-2{)}^2$ annule $A$. Le reste de la division euclidienne de $X^n$ par $(X-2{)}^2$ s'écrit $a+b(X-2)$ ; en évaluant en $2$ l'égalité de la division, puis sa dérivée — $2$ est racine double —, on trouve $a=2^n$ et $b=n{2}^{n-1}$. D'où $A^n=2^n{I}_2+n{2}^{n-1}(A-2I_2)$ : la même formule. L'écriture « scalaire plus nilpotente » et la division par un annulateur à racine double sont deux lectures du même calcul.