Déterminant négatif en dimension 2 : diagonalisable

Stratégie. En dimension $2$, le polynôme caractéristique est entièrement déterminé par la trace et le déterminant. Tout se ramène donc au signe d'un discriminant, et le déterminant négatif le rend strictement positif sans qu'on ait rien à savoir sur la trace.

1. Le polynôme caractéristique. Pour $A\in {\mathcal{M}}_2(\mathbb{R})$, le cours donne $${\chi }_A=X^2-\mathrm{tr}(A)X+\det (A).$$ Son discriminant vaut $$\Delta =\mathrm{tr}(A{)}^2-4\det (A).$$

2. Le signe du discriminant. Par hypothèse $\det A<0$, donc $-4\det (A)>0$. Comme $\mathrm{tr}(A{)}^2\ge 0$ (carré d'un réel), $$\Delta =\underset{\ge 0}{\underbrace{\mathrm{tr}(A{)}^2}}+\underset{>0}{\underbrace{(-4\det (A))}}>0.$$ Le discriminant est strictement positif : ${\chi }_A$ possède deux racines réelles distinctes ${\lambda }_1\ne {\lambda }_2$, $${\lambda }_{1,2}=\frac{\mathrm{tr}(A)\pm \sqrt{\mathrm{tr}(A{)}^2-4\det (A)}}{2}.$$

3. Conclusion. $A\in {\mathcal{M}}_2(\mathbb{R})$ admet donc deux valeurs propres réelles distinctes en dimension $2$ : le critère du cours (un endomorphisme d'un espace de dimension $n$ ayant $n$ valeurs propres distinctes est diagonalisable — de façon équivalente, ${\chi }_A$ est ici scindé sur $\mathbb{R}$ à racines simples) donne $$A\text{ est diagonalisable sur }\mathbb{R}.$$ Plus précisément, ${\lambda }_1{\lambda }_2=\det A<0$ : les deux valeurs propres sont de signes opposés. Géométriquement, $A$ dilate selon une direction propre et dilate en renversant selon l'autre — c'est le type « hyperbolique », dont les lignes de niveau de la forme quadratique associée sont des hyperboles.

4. La réciproque est fausse. $\mathrm{diag}(1,2)$ est diagonalisable et de déterminant $2>0$. La condition $\det A<0$ est donc suffisante, non nécessaire : elle donne un critère commode, pas une caractérisation.

5. Le résultat est propre à la dimension $2$. En dimension $3$, un déterminant négatif ne suffit plus. Prenons $$A=\left(\begin{array}{ccc}0& -1& 0\\ 1& 0& 0\\ 0& 0& -1\end{array}\right),\det A=\underset{=1}{\underbrace{(0\times 0-(-1)\times 1)}}\times (-1)=-1<0.$$ Son polynôme caractéristique est ${\chi }_A=(X^2+1)(X+1)$, qui n'est pas scindé sur $\mathbb{R}$ : $A$ n'est pas diagonalisable sur $\mathbb{R}$ (elle l'est sur $\mathbb{C}$). La raison est claire : en dimension $2$, un déterminant négatif interdit aux deux racines d'être complexes conjuguées, car leur produit serait $|\lambda {|}^2>0$ ; en dimension $3$, le facteur négatif peut être porté par la valeur propre réelle, laissant subsister un bloc de rotation.

Contrôle chiffré. Prenons $A=\left(\begin{array}{cc}1& 2\\ 3& 4\end{array}\right)$ : $\mathrm{tr}A=5$, $\det A=4-6=-2<0$, donc $\Delta =25+8=33>0$ $✓$. Les valeurs propres sont $${\lambda }_{1,2}=\frac{5\pm \sqrt{33}}{2}\approx 5,3723\text{et}-0,3723.$$ Elles sont réelles, distinctes, de signes opposés $✓$, et l'on vérifie la cohérence : leur somme vaut $5=\mathrm{tr}A$ et leur produit $\frac{25-33}{4}=-2=\det A$ $✓$.

Ce qui est acquis. En dimension $2$, tout se lit sur le couple $(\mathrm{tr},\det )$ : c'est le seul cas où le polynôme caractéristique est gratuit. Le réflexe à retenir est le signe du produit des valeurs propres — un déterminant négatif signale toujours au moins une valeur propre réelle négative et une positive.