Diagonaliser sans rien calculer

Réduction des Endomorphismes et Matrices Carrées · Niveau ★★ — raisonnement intermédiaire · niveau 2

Énoncé

Soit $A \in M_{n} (R)$ vérifiant $A^{2} = 3 A - 2 I_{n}$ . Montrer que $A$ est diagonalisable et préciser son spectre possible.

Corrigé

Le polynôme $P = X^{2} - 3 X + 2 = (X - 1) (X - 2)$ annule $A$ et est scindé à racines simples : par le critère algébrique, $A$ est diagonalisable, et $Sp (A) \subset {1, 2}$ (les valeurs propres sont racines de tout annulateur). Comme $X^{2} - 3 X + 2 = (X - 1) (X - 2)$ est scindé à racines simples, $A$ est diagonalisable, donc : $R^{n} = Ker (A - I) \oplus Ker (A - 2 I)$ . Aucun calcul de $χ$ , aucun pivot : c'est toute la puissance de la voie algébrique — comparer avec l'effort qu'exigerait la voie géométrique sans connaître $A$ !

Énoncé

Corrigé

Exercices semblables