L'opérateur de Legendre

Ce qu'on a le droit d'utiliser. La traduction matricielle de la stabilité, le polynôme caractéristique d'une matrice triangulaire, le corollaire « $n$ valeurs propres distinctes en dimension $n$ : diagonalisable », l'encadrement $1\le \dim E_{\lambda }\le m_{\lambda }$, et la stabilité des sous-espaces propres de $u$ par tout endomorphisme qui commute avec $u$.

a) La matrice triangulaire. L'application $L$ est linéaire, comme composée de dérivations et d'une multiplication par le polynôme fixe $1-X^2$. Calculons l'image de $X^k$ : $$L(X^k)={\left(k{X}^{k-1}-k{X}^{k+1}\right)}^{\prime }=k(k-1)X^{k-2}-k(k+1)X^k,$$ formule valable pour tout $k\ge 0$ — pour $k=0$ et $k=1$, le premier terme est nul, et l'on trouve $L(1)=0$ et $L(X)=-2X$. L'image de $X^k$ est donc de degré au plus $k$ : chaque ${\mathbb{R}}_k[X]$ est stable par $L$, et en particulier $L$ envoie ${\mathbb{R}}_n[X]$ dans lui-même, c'est un endomorphisme. La colonne numéro $k$ de sa matrice porte $-k(k+1)$ sur la diagonale et $k(k-1)$ deux crans au-dessus, et rien d'autre : la matrice est triangulaire supérieure, de coefficients diagonaux $0,-2,-6,\dots ,-n(n+1)$.

b) Diagonalisabilité et degré des vecteurs propres. Le polynôme caractéristique d'une matrice triangulaire est le produit des $X-d_k$, où les $d_k$ sont ses coefficients diagonaux : les valeurs propres de $L$ sont les $-k(k+1)$, $0\le k\le n$. Elles sont deux à deux distinctes, car $k\mapsto k(k+1)$ est strictement croissante sur $\mathbb{N}$. Ce sont donc $n+1$ valeurs propres distinctes en dimension $n+1$ : $L$ est diagonalisable, et chaque sous-espace propre est une droite, puisque chaque valeur propre est simple.

Soit $P$ un vecteur propre associé à $-k(k+1)$, de degré $d$ et de coefficient dominant $c\ne 0$. D'après la formule du a), le coefficient de $X^d$ dans $L(P)$ vaut $-d(d+1)c$ — les autres termes de $P$ ne produisent que des degrés inférieurs. L'égalité $L(P)=-k(k+1)P$ donne donc $d(d+1)=k(k+1)$, soit $d=k$. Tout vecteur propre associé à $-k(k+1)$ est de degré exactement $k$ ; en le divisant par son coefficient dominant, on en obtient un unitaire, $P_k$. Il est unique : deux polynômes unitaires de la même droite propre sont proportionnels, de même coefficient dominant, donc égaux.

c) La parité. Montrons que $\sigma$ et $L$ commutent. Pour $P\in {\mathbb{R}}_n[X]$, notons $Q=P(-X)$ ; alors $Q^{\prime }=-P^{\prime }(-X)$, donc $(1-X^2)Q^{\prime }=-\left[(1-X^2)P^{\prime }\right](-X)$, le polynôme $1-X^2$ étant pair. En dérivant une seconde fois, le signe change encore : $((1-X^2)Q^{\prime }{)}^{\prime }=\left[((1-X^2)P^{\prime }{)}^{\prime }\right](-X)$. C'est dire que $L(\sigma (P))=\sigma (L(P))$.

Comme $\sigma$ commute avec $L$, elle laisse stable chaque sous-espace propre de $L$ : si $L(P)=\lambda P$, alors $L(\sigma (P))=\sigma (L(P))=\lambda \sigma (P)$. La droite propre $\mathrm{Vect}(P_k)$ étant stable, $P_k(-X)=\epsilon P_k$ pour un scalaire $\epsilon$. Le coefficient dominant de $P_k(-X)$ vaut $(-1{)}^k$, celui de $P_k$ vaut $1$ : donc $\epsilon =(-1{)}^k$, et $P_k(-X)=(-1{)}^k{P}_k$. $P_k$ a la parité de $k$.

d) Les premiers polynômes. Par parité, $P_2=X^2+c$. Comme $L(1)=0$ et $L(X^2)=2-6X^2$, on a $L(P_2)=2-6X^2$, qui doit valoir $-6(X^2+c)$ : d'où $-6c=2$, $c=-\frac{1}{3}$, et $P_2=X^2-\frac{1}{3}$. De même $P_3=X^3+cX$, et $L(P_3)=(6X-12X^3)+c(-2X)=-12X^3+(6-2c)X$, qui doit valoir $-12X^3-12cX$ : d'où $6-2c=-12c$, $c=-\frac{3}{5}$, et $P_3=X^3-\frac{3}{5}X$.

e) L'équation de Legendre. En développant, $L(P)=(1-X^2)P^{\prime \prime }-2X{P}^{\prime }$. L'égalité $L(P_k)=-k(k+1)P_k$ s'écrit donc $(1-X^2)P_k^{\prime \prime }-2X{P}_k^{\prime }+k(k+1)P_k=0$ : la fonction polynomiale $x\mapsto P_k(x)$ est solution de l'équation de Legendre.

Ce que l'exercice installe. Un endomorphisme triangulaire à diagonale distincte est diagonalisable, et ses vecteurs propres sont échelonnés en degré ; une symétrie qui commute avec lui fixe chaque droite propre, d'où la parité — sans aucun calcul. Les $P_k$ sont, à un facteur près, les polynômes de Legendre : on a obtenu les solutions polynomiales d'une équation différentielle comme vecteurs propres, sans la résoudre. Cette équation apparaît quand on sépare les variables de l'équation de Laplace en coordonnées sphériques : potentiel électrostatique à symétrie axiale, partie angulaire des orbitales atomiques. On retrouvera ces polynômes orthogonaux au chapitre 3.