La matrice compagnon : tout polynôme est caractéristique, tout sous-espace propre est une droite

Ce qu'on a le droit d'utiliser. Le développement d'un déterminant selon une ligne, le théorème du rang, l'égalité des rangs d'une matrice et de sa transposée, l'encadrement $1\le \dim E_{\lambda }\le m_{\lambda }$, le théorème fondamental de caractérisation de la diagonalisabilité, et le théorème selon lequel des vecteurs propres associés à des valeurs propres distinctes forment une famille libre.

a) ${\chi }_C=P$. On étend la définition à $p=1$, où la matrice compagnon de $X+a_0$ est $(-a_0)$ ; alors $\det (X{I}_1-C)=X+a_0$. Pour $p\ge 2$, notons $D_p(a_0,\dots ,a_{p-1})=\det (X{I}_p-C)$. La première ligne de $X{I}_p-C$ est $(X,0,\dots ,0,a_0)$ : le développement selon cette ligne ne comporte que deux termes.

• Le coefficient $X$, en position $(1,1)$ : en supprimant la première ligne et la première colonne, il reste exactement $X{I}_{p-1}-C^{\prime }$, où $C^{\prime }$ est la matrice compagnon de $X^{p-1}+a_{p-1}{X}^{p-2}+\cdots +a_{2}X+a_1$. Sa contribution est $X{D}_{p-1}(a_1,\dots ,a_{p-1})$.
• Le coefficient $a_0$, en position $(1,p)$ : en supprimant la première ligne et la dernière colonne, il reste une matrice triangulaire supérieure de taille $p-1$ dont la diagonale ne porte que des $-1$ — ce sont les $-1$ situés juste sous la diagonale de $X{I}_p-C$. Son déterminant vaut $(-1{)}^{p-1}$, le signe du cofacteur est $(-1{)}^{1+p}$, et la contribution vaut $(-1{)}^{1+p}(-1{)}^{p-1}{a}_0=a_0$.

D'où la relation $D_p(a_0,\dots ,a_{p-1})=X{D}_{p-1}(a_1,\dots ,a_{p-1})+a_0$. Par récurrence sur $p$ : si $D_{p-1}(a_1,\dots ,a_{p-1})=X^{p-1}+a_{p-1}{X}^{p-2}+\cdots +a_{2}X+a_1$, alors $$D_p=X^p+a_{p-1}{X}^{p-1}+\cdots +a_2{X}^2+a_{1}X+a_0=P.$$ Ce que dit ce résultat. Tout polynôme unitaire de degré $p$ est le polynôme caractéristique d'une matrice explicite : aucune contrainte cachée ne pèse sur un polynôme caractéristique, au-delà de son degré et de son coefficient dominant. C'est aussi le procédé standard pour fabriquer une matrice de spectre imposé.

b) Les sous-espaces propres sont des droites. Supprimons la première ligne et la dernière colonne de $C-\lambda I_p$ : il reste une matrice triangulaire supérieure de taille $p-1$ dont la diagonale ne porte que des $1$ — les $1$ sous-diagonaux de $C$ —, donc de déterminant $1$. Les $p-1$ premières colonnes de $C-\lambda I_p$ sont donc libres : si une combinaison de ces colonnes est nulle, ses lignes $2$ à $p$ le sont aussi, et l'inversibilité de la sous-matrice force les coefficients à être nuls. Ainsi $\mathrm{rg}(C-\lambda I_p)\ge p-1$. Comme $\lambda$ est racine de $P={\chi }_C$, c'est une valeur propre, et $\mathrm{rg}(C-\lambda I_p)\le p-1$. Donc le rang vaut $p-1$, et le théorème du rang donne $\dim E_{\lambda }(C)=1$ : une droite.

Le vecteur $W_{\lambda }$. Pour $1\le i\le p-1$, la colonne $i$ de $C$ est le vecteur de base $e_{i+1}$, donc la ligne $i$ de ${}^{t}C$ ne fait que prélever la coordonnée $i+1$ : la coordonnée $i$ de ${}^{t}C{W}_{\lambda }$ vaut ${\lambda }^i=\lambda \cdot {\lambda }^{i-1}$. La dernière ligne de ${}^{t}C$ est $(-a_0,\dots ,-a_{p-1})$, et la dernière coordonnée de ${}^{t}C{W}_{\lambda }$ vaut $$-\sum _{k=0}^{p-1}{a}_k{\lambda }^k={\lambda }^p-P(\lambda )={\lambda }^p=\lambda \cdot {\lambda }^{p-1}.$$ Donc ${}^{t}C{W}_{\lambda }=\lambda W_{\lambda }$, avec $W_{\lambda }\ne 0$ puisque sa première coordonnée vaut $1$. Et $\dim E_{\lambda }({}^{t}C)=p-\mathrm{rg}({}^{t}C-\lambda I_p)=p-\mathrm{rg}(C-\lambda I_p)=1$ : $E_{\lambda }({}^{t}C)=\mathrm{Vect}(W_{\lambda })$.

La diagonalisabilité. $C$ est diagonalisable si et seulement si ${\chi }_C=P$ est scindé et si $\dim E_{\lambda }=m_{\lambda }$ pour chaque valeur propre $\lambda$. Ici chaque $\dim E_{\lambda }$ vaut $1$ : il faut et il suffit que chaque multiplicité vaille $1$. $C$ est diagonalisable si et seulement si $P$ est scindé à racines simples.

c) Les suites récurrentes linéaires. Les $p-1$ premières coordonnées de $V_{n+1}$ sont $u_{n+1},\dots ,u_{n+p-1}$, c'est-à-dire les $p-1$ dernières coordonnées de $V_n$ ; la dernière est $u_{n+p}=-a_0{u}_n-a_1{u}_{n+1}-\cdots -a_{p-1}{u}_{n+p-1}$. C'est exactement ce que calcule ${}^{t}C$ : ses $p-1$ premières lignes décalent, sa dernière ligne est $(-a_0,\dots ,-a_{p-1})$. Donc $V_{n+1}={}^{t}C{V}_n$, et par récurrence $V_n={\left({}^{t}C\right)}^n{V}_0$.

Si $P$ a $p$ racines distinctes ${\lambda }_1,\dots ,{\lambda }_p$, les vecteurs $W_{{\lambda }_1},\dots ,W_{{\lambda }_p}$ sont des vecteurs propres de ${}^{t}C$ associés à des valeurs propres distinctes : ils forment une famille libre de $p$ vecteurs en dimension $p$, donc une base. Décomposons $V_0={\sum }_i{c}_i{W}_{{\lambda }_i}$. Alors $V_n={\left({}^{t}C\right)}^n{V}_0={\sum }_i{c}_i{\lambda }_i^n{W}_{{\lambda }_i}$, et la première coordonnée de chaque $W_{{\lambda }_i}$ valant $1$, la première coordonnée donne $u_n={\sum }_i{c}_i{\lambda }_i^n$.

d) Application. Ici $P=X^3-2X^2-X+2=X^2(X-2)-(X-2)=(X-1)(X+1)(X-2)$ : trois racines distinctes, $1$, $-1$ et $2$. D'après le c), $u_n=c_1+c_2(-1{)}^n+c_3{2}^n$, et les conditions initiales donnent le système $$\{\begin{array}{l}{c}_1+c_2+c_3=0\\ c_1-c_2+2c_3=1\\ c_1+c_2+4c_3=2\end{array}$$ La troisième équation moins la première donne $3c_3=2$, soit $c_3=\frac{2}{3}$ ; il reste $c_1+c_2=-\frac{2}{3}$ et $c_1-c_2=1-\frac{4}{3}=-\frac{1}{3}$, d'où $c_1=-\frac{1}{2}$ et $c_2=-\frac{1}{6}$ : $$u_n=-\frac{1}{2}-\frac{1}{6}(-1{)}^n+\frac{2}{3}{2}^n.$$ Contrôle. La récurrence donne $u_3=2\times 2+1-2\times 0=5$, et la formule donne $-\frac{1}{2}+\frac{1}{6}+\frac{16}{3}=\frac{-3+1+32}{6}=5$.

Pour $(X-1{)}^2(X+2)=X^3-3X+2$, la racine $1$ est double, mais $E_1$ est une droite d'après le b) : la matrice compagnon n'est pas diagonalisable. Et la forme $\sum c_i{\lambda }_i^n$ ne suffit plus : la suite $u_n=n$ vérifie la récurrence associée $u_{n+3}-3u_{n+1}+2u_n=0$, puisque $(n+3)-3(n+1)+2n=0$, mais elle ne s'écrit pas $c_1+c_2(-2{)}^n$ : les valeurs en $0$ et $1$ imposeraient $c_1=\frac{1}{3}$ et $c_2=-\frac{1}{3}$, et la valeur en $2$ serait alors $\frac{1}{3}-\frac{4}{3}=-1$ au lieu de $2$.

Ce que l'exercice installe. Dans une matrice compagnon, la dernière colonne est le polynôme ; chaque sous-espace propre est une droite, si bien que la diagonalisabilité équivaut aux racines simples. C'est toute la théorie des suites récurrentes linéaires, d'ordre quelconque : la forme $\sum c_i{\lambda }_i^n$ vient d'une diagonalisation, et une racine multiple la met en défaut. En physique numérique, c'est ainsi qu'on analyse un schéma récurrent : son comportement à long terme est dicté par les racines du polynôme $P$.