Le commutateur $M\mapsto AM-MA$ et les fréquences de Bohr

Ce qu'on a le droit d'utiliser. La définition matricielle de la diagonalisabilité, le fait qu'un endomorphisme qui possède une base de vecteurs propres est diagonalisable, le calcul des produits par une matrice diagonale, et le fait qu'une matrice diagonalisable dont le spectre est $\{0\}$ est nulle.

La stratégie. On ne cherche pas les vecteurs propres de ${\Phi }_A$ : on les transporte. Pour une matrice diagonale, les $E_{ij}$ conviennent ; la conjugaison par $P$ les transporte vers $A$.

a) Les vecteurs propres transportés. De $A=PD{P}^{-1}$ on tire $AP=PD$ et $P^{-1}A=D{P}^{-1}$, donc $${\Phi }_A(M_{ij})=AP{E}_{ij}{P}^{-1}-P{E}_{ij}{P}^{-1}A=P\left(D{E}_{ij}-E_{ij}D\right)P^{-1}.$$ Multiplier à gauche par la matrice diagonale $D$ multiplie chaque ligne $r$ par ${\lambda }_r$ ; or $E_{ij}$ n'a qu'un coefficient non nul, dans la ligne $i$ : $D{E}_{ij}={\lambda }_i{E}_{ij}$. De même, multiplier à droite par $D$ multiplie chaque colonne $s$ par ${\lambda }_s$, et $E_{ij}D={\lambda }_j{E}_{ij}$. Donc ${\Phi }_A(M_{ij})=({\lambda }_i-{\lambda }_j)M_{ij}$.

L'application $M\mapsto PM{P}^{-1}$ est linéaire et bijective, de réciproque $M\mapsto P^{-1}MP$ : c'est un automorphisme de ${\mathcal{M}}_n(\mathbb{K})$, qui envoie la base $(E_{ij})$ sur la famille $(M_{ij})$. Celle-ci est donc une base.

b) Diagonalisabilité, spectre et trace. Les $M_{ij}$ sont non nuls et vérifient ${\Phi }_A(M_{ij})=({\lambda }_i-{\lambda }_j)M_{ij}$ : $(M_{ij})$ est une base de vecteurs propres de ${\Phi }_A$, qui est donc diagonalisable. Sa matrice dans cette base est diagonale, de coefficients diagonaux les ${\lambda }_i-{\lambda }_j$ : ce sont exactement ses valeurs propres, et $\mathrm{Sp}({\Phi }_A)=\{{\lambda }_i-{\lambda }_j\mid 1\le i,j\le n\}$. Enfin $$\mathrm{tr}{\Phi }_A=\sum _{i=1}^n\sum _{j=1}^n({\lambda }_i-{\lambda }_j)=n\sum _{i=1}^n{\lambda }_i-n\sum _{j=1}^n{\lambda }_j=0.$$

c) La dimension du commutant. Dans la base des $M_{ij}$, la matrice de ${\Phi }_A$ est diagonale ; son noyau est engendré par les vecteurs de base dont le coefficient diagonal est nul, c'est-à-dire par les $M_{ij}$ tels que ${\lambda }_i={\lambda }_j$. Donc $\dim \ker {\Phi }_A$ est le nombre de couples $(i,j)$ tels que ${\lambda }_i={\lambda }_j$. Regroupons ces couples par valeur propre : pour $\lambda \in \mathrm{Sp}(A)$, notons $d_{\lambda }$ le nombre d'indices $i$ tels que ${\lambda }_i=\lambda$. C'est la dimension de $E_{\lambda }(A)$, car $A-\lambda I_n=P(D-\lambda I_n)P^{-1}$ a le même rang que la matrice diagonale $D-\lambda I_n$, qui a exactement $d_{\lambda }$ coefficients diagonaux nuls. Le nombre de couples $(i,j)$ avec ${\lambda }_i={\lambda }_j=\lambda$ est $d_{\lambda }^2$, d'où $$\dim \ker {\Phi }_A=\sum _{\lambda \in \mathrm{Sp}(A)}(\dim E_{\lambda }(A){)}^2.$$ Si les ${\lambda }_i$ sont deux à deux distincts, chaque $d_{\lambda }$ vaut $1$ et le commutant de $D$ est de dimension $n$. Or les matrices diagonales commutent avec $D$ et forment un sous-espace de dimension $n$ : c'est donc tout le commutant.

d) Sans diagonalisabilité, rien ne tient. Pour $A=E_{12}$, on a $A^2=0$. Calculons les itérés : $${\Phi }_A^2(M)=A(AM-MA)-(AM-MA)A=A^{2}M-2AMA+M{A}^2=-2AMA,$$ $${\Phi }_A^3(M)=A(-2AMA)-(-2AMA)A=-2A^{2}MA+2AM{A}^2=0.$$ Le polynôme $X^3$ annule ${\Phi }_A$ : son spectre est contenu dans $\{0\}$. Si ${\Phi }_A$ était diagonalisable, elle serait nulle. Or ${\Phi }_A(E_{21})=E_{12}{E}_{21}-E_{21}{E}_{12}=E_{11}-E_{22}\ne 0$. Donc ${\Phi }_A$ n'est pas diagonalisable : l'hypothèse « $A$ diagonalisable » des questions a) et b) n'était pas décorative.

e) Les fréquences de Bohr. Pour $H=P\mathrm{diag}({\epsilon }_1,\dots ,{\epsilon }_n)P^{-1}$, le b) dit que le spectre de ${\Phi }_H$ est l'ensemble des différences ${\epsilon }_i-{\epsilon }_j$ : au facteur $h$ près, c'est l'ensemble des fréquences $\frac{{\epsilon }_i-{\epsilon }_j}{h}$ que le système peut émettre ou absorber. Les niveaux sont le spectre de $H$ ; les raies sont le spectre de son commutateur. C'est ce commutateur qui gouverne l'évolution des observables en mécanique quantique, et les observables $M_{ij}$ y oscillent précisément aux fréquences de Bohr.

Ce que l'exercice installe. Une réduction se transporte : si $A=PD{P}^{-1}$, les $P{E}_{ij}{P}^{-1}$ diagonalisent tout opérateur construit sur $A$ comme ${\Phi }_A$. Le commutant se mesure par les dimensions des sous-espaces propres. Et un spectre de raies est un spectre de différences : c'est le principe de combinaison de Ritz, lu comme un énoncé d'algèbre linéaire.