Les matrices de rang 1

Exercice de TD · niveau 2 · mathématiques (PC), chapitre 2 — Réduction des Endomorphismes et Matrices Carrées · B. Polynôme caractéristique et multiplicités

Énoncé

Soit $A \in M_{n} (K)$ , $n \geq 2$ , de rang $1$ .

a) Montrer que $A = C L$ avec $C$ colonne et $L$ ligne non nulles, puis que $A^{2} = tr (A) A$ .

b) Montrer que $dim E_{0} (A) = n - 1$ , et en déduire, à l'aide de l'encadrement $dim E_{λ} \leq m_{λ}$ et du coefficient de degré $n - 1$ de $χ_{A}$ , que $χ_{A} = X^{n - 1} (X - tr A)$ .

c) Montrer que $A$ est diagonalisable si et seulement si $tr A \neq = 0$ , de deux façons : par les dimensions des sous-espaces propres, puis par le polynôme annulateur $X (X - tr A)$ .

d) Montrer que $det (I_{n} + A) = 1 + tr A$ .

e) (Application.) Diagonaliser la matrice $J_{n} \in M_{n} (R)$ dont tous les coefficients valent $1$ , et calculer $det (I_{n} + J_{n})$ .

Corrigé

Ce qu'on a le droit d'utiliser. Le théorème du rang, l'expression des coefficients de degrés $n - 1$ et $0$ du polynôme caractéristique, l'encadrement des multiplicités, les deux caractérisations de la diagonalisabilité — par les dimensions des sous-espaces propres, par un polynôme annulateur scindé à racines simples —, et la relation $tr (C L) = tr (L C)$ du chapitre 1.

a) Factorisation et annulateur. L'image de $A$ est une droite, dirigée par une colonne $C \neq = 0$ : chaque colonne de $A$ , étant dans cette image, est de la forme $ℓ_{j} C$ pour un scalaire $ℓ_{j}$ . En posant $L = (ℓ_{1}, \dots, ℓ_{n})$ , on obtient $A = C L$ , et $L \neq = 0$ puisque $A \neq = 0$ . Alors $A^{2} = C (L C) L = (L C) C L = (L C) A,$ car $L C$ est une matrice de taille $1 \times 1$ , c'est-à-dire un scalaire, qui commute avec tout. Et ce scalaire vaut $tr (L C) = tr (C L) = tr A$ . Donc $A^{2} = tr (A) A$ .

b) Le polynôme caractéristique. Le théorème du rang donne $dim ker A = n - 1 \geq 1$ : $0$ est valeur propre et $dim E_{0} (A) = n - 1$ . L'encadrement $dim E_{0} \leq m_{0}$ donne $m_{0} \geq n - 1$ : $X^{n - 1}$ divise $χ_{A}$ , qui est unitaire de degré $n$ . Donc $χ_{A} = X^{n - 1} (X - μ)$ pour un certain scalaire $μ$ . Le coefficient de $X^{n - 1}$ de ce produit vaut $- μ$ ; or c'est aussi $- tr A$ . Donc $μ = tr A$ , et $χ_{A} = X^{n - 1} (X - tr A) .$

c) La diagonalisabilité, par deux routes.

Par les dimensions. Si $tr A \neq = 0$ , $χ_{A}$ est scindé, de racines $0$ , de multiplicité $n - 1$ avec $dim E_{0} = n - 1$ , et $tr A$ , de multiplicité $1$ avec $dim E_{tr A} = 1$ par l'encadrement : chaque dimension égale la multiplicité, $A$ est diagonalisable. Si $tr A = 0$ , $χ_{A} = X^{n}$ : la seule valeur propre est $0$ , de multiplicité $n$ , mais $dim E_{0} = n - 1 < n$ : $A$ n'est pas diagonalisable.

Par l'annulateur. D'après le a), le polynôme $X (X - tr A)$ annule $A$ . Si $tr A \neq = 0$ , il est scindé à racines simples : $A$ est diagonalisable. Si $tr A = 0$ et si $A$ était diagonalisable, son spectre serait contenu dans les racines de l'annulateur $X^{2}$ , donc réduit à ${0}$ , et $A$ serait semblable à la matrice nulle, donc nulle — impossible pour une matrice de rang $1$ .

d) Le déterminant de $I_{n} + A$ . Par définition, $χ_{A} (- 1) = det (- I_{n} - A) = (- 1)^{n} det (I_{n} + A)$ . Donc $det (I_{n} + A) = (- 1)^{n} χ_{A} (- 1) = (- 1)^{n} (- 1)^{n - 1} (- 1 - tr A) = 1 + tr A .$

e) La matrice $J_{n}$ . On a $J_{n} = C L$ avec $C =^{t} (1, \dots, 1)$ et $L = (1, \dots, 1)$ : $J_{n}$ est de rang $1$ , de trace $n \neq = 0$ . D'après le c), elle est diagonalisable, de spectre ${0, n}$ . Le sous-espace propre $E_{n}$ est la droite $Vect (C)$ , puisque $J_{n} C = C (L C) = n C$ ; et $E_{0} = ker J_{n}$ est l'hyperplan des colonnes de somme nulle, d'équation $x_{1} + \dots + x_{n} = 0$ . Enfin $det (I_{n} + J_{n}) = 1 + n$ — pour $n = 3$ , on vérifie directement que la matrice de diagonale $2$ et de coefficients hors diagonale $1$ a pour déterminant $4$ .

Ce que l'exercice installe. Un annulateur tombe du produit : $A = C L$ donne $A^{2} = tr (A) A$ sans calcul. Les deux routes du cours — dimensions ou annulateur — tranchent la même question, et il faut savoir emprunter l'une ou l'autre. Et $det (I_{n} + A) = 1 + tr A$ est le cas exact, pour le rang $1$ , de l'approximation au premier ordre $det (I_{n} + t H) = 1 + t tr H + o (t)$ qu'on établira avec le calcul différentiel. En physique, $J_{n}$ décrit $n$ systèmes identiques couplés « tous avec tous » : un seul mode se détache, le mode collectif $E_{n}$ où tous vibrent ensemble, et les $n - 1$ autres restent dégénérés.

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