Matrices stochastiques : le spectre dans le disque unité

Ce qu'on a le droit d'utiliser. La définition des éléments propres d'une matrice carrée ($AX=\lambda X$ avec $X\ne 0$), le spectre complexe d'une matrice réelle, l'inégalité triangulaire dans $\mathbb{C}$, et, pour un complexe $w$, l'inégalité $\mathrm{Re}w\le |w|$, avec égalité si et seulement si $w$ est un réel positif ou nul (première année).

La stratégie. L'hypothèse « chaque ligne somme à $1$ » est exactement l'énoncé $AU=U$ : la question a) est une lecture. Pour la question b), on transforme une égalité vectorielle en une inégalité scalaire en ne regardant qu'une seule coordonnée, celle de plus grand module. La question c) est l'examen des cas d'égalité de cette chaîne d'inégalités.

a) $1$ est valeur propre. La coordonnée $i$ de $AU$ vaut ${\sum }_{j=1}^n{a}_{ij}\times 1=1$. Donc $AU=U$ avec $U\ne 0$ : $1\in \mathrm{Sp}(A)$, de vecteur propre $U$. Aucune positivité n'a servi ici : seule la somme des lignes intervient.

b) Toute valeur propre est de module au plus $1$. Soit $\lambda \in \mathbb{C}$ une valeur propre et $X={}^t(x_1,\dots ,x_n)\ne 0$ un vecteur propre complexe associé. Choisissons un indice $i_0$ tel que $|x_{i_0}|={\max }_i|x_i|$, et notons $m$ ce maximum : $m>0$ puisque $X\ne 0$. La ligne $i_0$ de l'égalité $AX=\lambda X$ s'écrit $\lambda x_{i_0}={\sum }_j{a}_{i_{0}j}{x}_j$. On passe aux modules : $$|\lambda |m=\left|\sum _{j=1}^n{a}_{i_{0}j}{x}_j\right|\le \sum _{j=1}^n{a}_{i_{0}j}|x_j|\le \sum _{j=1}^n{a}_{i_{0}j}m=m.$$ La première inégalité est l'inégalité triangulaire, écrite avec $|a_{i_{0}j}{x}_j|=a_{i_{0}j}|x_j|$ — c'est ici que sert la positivité des coefficients ; la seconde vient de $|x_j|\le m$, multiplié par $a_{i_{0}j}\ge 0$ ; l'égalité finale est la somme de la ligne $i_0$. Comme $m>0$, on divise : $|\lambda |\le 1$.

Le point délicat. L'indice $i_0$ est choisi après le vecteur propre : il dépend de $X$. Prendre « la première ligne » ou une ligne quelconque ne donnerait rien.

c) Le cas d'égalité. Supposons tous les $a_{ij}$ strictement positifs, et $|\lambda |=1$. Les deux extrémités de la chaîne du b) valent alors $m$ : les deux inégalités sont des égalités.

La seconde égalité. Elle s'écrit ${\sum }_j{a}_{i_{0}j}\left(m-|x_j|\right)=0$ : une somme de termes positifs ou nuls, qui est nulle, a tous ses termes nuls ; comme chaque $a_{i_{0}j}$ est strictement positif, $|x_j|=m$ pour tout $j$.

La première égalité. Posons $z=\lambda x_{i_0}={\sum }_j{a}_{i_{0}j}{x}_j$, de module $m$. Alors $$m^2=\overline{z}z=\sum _{j=1}^n{a}_{i_{0}j}\overline{z}{x}_j,$$ et, en prenant les parties réelles, $m^2={\sum }_j{a}_{i_{0}j}\mathrm{Re}\left(\overline{z}{x}_j\right)$. Or $\mathrm{Re}\left(\overline{z}{x}_j\right)\le |\overline{z}{x}_j|=m\cdot m=m^2$, et ${\sum }_j{a}_{i_{0}j}=1$ ; donc ${\sum }_j{a}_{i_{0}j}\left(m^2-\mathrm{Re}(\overline{z}{x}_j)\right)=0$, somme de termes positifs ou nuls, d'où $\mathrm{Re}\left(\overline{z}{x}_j\right)=m^2=|\overline{z}{x}_j|$ pour tout $j$. Le complexe $\overline{z}{x}_j$ est donc un réel positif, égal à $m^2$ : $x_j=\frac{m^2}{\overline{z}}=\frac{z\overline{z}}{\overline{z}}=z$. Toutes les coordonnées de $X$ sont égales à $z$. En particulier $x_{i_0}=z=\lambda x_{i_0}$, et comme $x_{i_0}\ne 0$, $\lambda =1$.

Conclusion. $1$ est la seule valeur propre de module $1$. Et tout vecteur non nul de $E_1(A)$ est un vecteur propre pour une valeur propre de module $1$, donc a toutes ses coordonnées égales : $E_1(A)\subset \mathrm{Vect}(U)$, et l'inclusion inverse est le a). Donc $E_1(A)=\mathrm{Vect}(U)$.

Le contre-exemple. La matrice $\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ 1& 0\end{array}\right)$ est stochastique, mais ses coefficients ne sont pas tous strictement positifs ; son polynôme caractéristique est $X^2-1$, et elle admet la valeur propre $-1$, de module $1$, de vecteur propre ${}^t(1,-1)$. La conclusion tombe : c'est la chaîne à deux états qui alterne indéfiniment, sans jamais se stabiliser.

d) Contrôle. Les trois lignes ont pour somme $1$. On a $\mathrm{tr}A=\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{3}=\frac{7}{6}$, et le développement selon la première ligne donne $$\det A=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{9}-\frac{1}{6}\right)-\frac{1}{4}\left(\frac{1}{9}-\frac{1}{18}\right)+\frac{1}{4}\left(\frac{1}{6}-\frac{1}{18}\right)=-\frac{1}{36}-\frac{1}{72}+\frac{1}{36}=-\frac{1}{72}.$$ Sur $\mathbb{C}$, ${\chi }_A$ est scindé : les valeurs propres, comptées avec multiplicité, ont pour somme la trace et pour produit le déterminant. L'une d'elles vaut $1$ ; les deux autres, ${\mu }_1$ et ${\mu }_2$, vérifient donc ${\mu }_1+{\mu }_2=\frac{7}{6}-1=\frac{1}{6}$ et ${\mu }_1{\mu }_2=-\frac{1}{72}$ : ce sont les racines de $X^2-\frac{1}{6}X-\frac{1}{72}$, soit de $72X^2-12X-1$, c'est-à-dire $${\mu }_{1,2}=\frac{1\pm \sqrt{3}}{12}.$$ Leurs modules, environ $0,23$ et $0,06$, sont strictement inférieurs à $1$, conformément au c).

Pour aller plus loin. Les trois valeurs propres $1$, ${\mu }_1$, ${\mu }_2$ étant distinctes, $A$ est diagonalisable : $A=PD{P}^{-1}$ avec $D=\mathrm{diag}(1,{\mu }_1,{\mu }_2)$. Comme $|{\mu }_i|<1$, $D^k$ tend vers $\mathrm{diag}(1,0,0)$, et $A^k=P{D}^k{P}^{-1}$, dont chaque coefficient est une combinaison fixe des coefficients de $D^k$, converge vers une matrice $\Lambda$. En passant à la limite dans $A^{k+1}=A{A}^k$, on obtient $A\Lambda =\Lambda$ : les colonnes de $\Lambda$ sont dans $E_1(A)=\mathrm{Vect}(U)$, chacune est constante, donc toutes les lignes de $\Lambda$ sont égales à une même ligne $\ell$. En passant à la limite dans $A^{k+1}=A^{k}A$, on obtient $\Lambda =\Lambda A$, soit $\ell A=\ell$ ; et chaque ligne de $A^k$ a pour somme $1$, donc celle de $\ell$ aussi. La colonne ${}^t\ell$ est un vecteur propre de ${}^{t}A$ pour la valeur propre $1$, et ce sous-espace propre est une droite, puisque $1$ est valeur propre simple ; la condition « somme égale à $1$ » détermine donc $\ell$, et la résolution de $\ell A=\ell$ donne $\ell =\left(\frac{20}{59},\frac{21}{59},\frac{18}{59}\right)$ : c'est la loi stationnaire, vers laquelle la chaîne converge quel que soit son état de départ.

Ce que l'exercice installe. Une hypothèse de somme sur les lignes se lit sur un vecteur ; une hypothèse de positivité se lit dans une inégalité triangulaire ; et l'on majore une valeur propre par la coordonnée de module maximal d'un vecteur propre. Le cas d'égalité isole la valeur propre $1$ : toutes les autres sont de module strictement inférieur à $1$, leurs puissances s'éteignent, et la chaîne de Markov converge vers son régime stationnaire. C'est le mécanisme de la relaxation vers l'équilibre dans les modèles de marche aléatoire de la physique statistique.