mathématiques (PC) · Chapitre 2 · Exercice de TD

Matrices stochastiques : le spectre dans le disque unité

Réduction des Endomorphismes et Matrices Carrées · A. Sous-espaces stables et éléments propres · niveau 3 (difficile)

Énoncé

Soit $A = (a_{ij}) \in M_{n} (R)$ à coefficients positifs ou nuls, dont chaque ligne a pour somme $1$ : c'est la matrice de transition d'une chaîne de Markov.

a) Montrer que $1 \in Sp (A)$ .

b) Soit $λ \in C$ une valeur propre complexe de $A$ . Montrer que $∣ λ ∣ \leq 1$ (prendre une coordonnée de module maximal d'un vecteur propre).

c) On suppose de plus que tous les coefficients de $A$ sont strictement positifs. Soit $λ \in C$ une valeur propre de module $1$ et $X$ un vecteur propre associé. En examinant les cas d'égalité dans la chaîne d'inégalités de b), montrer que toutes les coordonnées de $X$ sont égales. En déduire que $1$ est la seule valeur propre de module $1$ et que $E_{1} (A) = Vect (U)$ , où $U =^{t} (1, \dots, 1)$ . Que devient ce résultat pour $A = (0110)$ ?

d) (Contrôle.) Vérifier ces résultats sur $A = \frac{1}{2} \frac{1}{3} \frac{1}{6} \frac{1}{4} \frac{1}{3} \frac{1}{2} \frac{1}{4} \frac{1}{3} \frac{1}{3} .$

Corrigé de la question 1

Ce qu'on a le droit d'utiliser. La définition des éléments propres d'une matrice carrée ( $A X = λ X$ avec $X \neq = 0$ ), le spectre complexe d'une matrice réelle, l'inégalité triangulaire dans $C$ , et, pour un complexe $w$ , l'inégalité $Re w \leq ∣ w ∣$ , avec égalité si et seulement si $w$ est un réel positif ou nul (première année).

La stratégie. L'hypothèse « chaque ligne somme à $1$ » est exactement l'énoncé $A U = U$ : la question a) est une lecture. Pour la question b), on transforme une égalité vectorielle en une inégalité scalaire en ne regardant qu'une seule coordonnée, celle de plus grand module. La question c) est l'examen des cas d'égalité de cette chaîne d'inégalités.

a) $1$ est valeur propre. La coordonnée $i$ de $A U$ vaut $\sum_{j = 1}^{n} a_{ij} \times 1 = 1$ . Donc $A U = U$ avec $U \neq = 0$ : $1 \in Sp (A)$ , de vecteur propre $U$ . Aucune positivité n'a servi ici : seule la somme des lignes intervient.

Question 2 : comment l'IA t'aide

b) Soit $λ \in C$ une valeur propre complexe de $A$ . Montrer que $∣ λ ∣ \leq 1$ (prendre une coordonnée de module maximal d'un vecteur propre).

Élève

Je prends $i_{0}$ avec $∣ x_{i_{0}} ∣$ maximal, comme l'indique l'énoncé. Mais je ne vois pas pourquoi cette ligne-là plutôt qu'une autre : sur la première ligne aussi, je peux passer aux modules.

Passer aux modules, oui ; mais ensuite il faut majorer chaque $∣ x_{j} ∣$ puis diviser pour isoler $∣ λ ∣$ . Qu'est-ce qui peut échouer dans chacune de ces deux étapes si la ligne n'est pas celle du maximum ?

Élève

$x_{1}$ peut être nul, et les $∣ x_{j} ∣$ ne sont pas forcément plus petits que $∣ x_{1} ∣$ . Avec $i_{0}$ , j'écris $∣ λ ∣ ∣ x_{i_{0}} ∣ = \sum_{j} a_{i_{0} j} x_{j}$ .

C'est cela. À quels endroits de la chaîne d'inégalités qui suit la positivité des $a_{i_{0} j}$ est-elle indispensable, et comment l'hypothèse sur la somme de chaque ligne intervient-elle pour conclure ?

L'IA ne donne pas la réponse : elle pose la question qui fait avancer. À toi de continuer.

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Reprends la question 2 là où le dialogue s'arrête, puis la suite de l'exercice.

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