Partie diagonalisable et partie nilpotente qui commutent

Soit $u$ avec ${\chi }_u$ scindé, $u=d+\nu$ sa décomposition lue sur les sous-espaces caractéristiques ($d$ agissant par ${\lambda }_i$ sur $N_i$, $\nu =u-d$). Montrer que $d$ est diagonalisable, $\nu$ nilpotent, et $d\nu =\nu d$ (tout se vérifie bloc par bloc — c'est la décomposition de Dunford, ici à portée de main ; le nom « décomposition de Dunford » est hors nomenclature du programme).