Problème : la chaîne d'oscillateurs, spectre du laplacien discret et relation de dispersion

Ce qu'on a le droit d'utiliser. La définition des éléments propres, le corollaire « $n$ valeurs propres distinctes en dimension $n$ : diagonalisable », l'expression de la trace et du déterminant à l'aide des valeurs propres ; et de la première année, les suites récurrentes linéaires d'ordre deux à coefficients constants complexes — racine double comprise —, les solutions de $y^{\prime \prime }+{\omega }^{2}y=0$, et les formules de trigonométrie. Le programme de PC permet, en liaison avec la réduction, de traiter de tels exemples de systèmes différentiels linéaires à coefficients constants ; on n'utilisera que l'équation de l'oscillateur harmonique, coordonnée par coordonnée.

La stratégie. Chercher un mode propre, c'est chercher un vecteur propre : c'est la question 1. L'équation aux éléments propres $A_{n}V=\lambda V$ est, ligne par ligne, une récurrence linéaire d'ordre deux, que la première année sait résoudre ; les deux conditions aux bords $v_0=v_{n+1}=0$ quantifient $\lambda$ : c'est la question 2. On vérifie ensuite qu'on a trouvé $n$ valeurs propres distinctes, ce qui règle la diagonalisabilité ; on en tire la physique aux questions 4 et 6, et des contrôles à la question 5.

1) Les modes propres. La fonction $X(t)=\cos (\omega t)V$ est de classe ${\mathcal{C}}^2$, et $X^{\prime \prime }(t)=-{\omega }^2\cos (\omega t)V$. Elle est solution si et seulement si, pour tout $t$, $-{\omega }^2\cos (\omega t)V=-{\omega }_0^2\cos (\omega t)A_{n}V$, c'est-à-dire $\cos (\omega t)\left({\omega }^{2}V-{\omega }_0^2{A}_{n}V\right)=0$. Si c'est vrai pour tout $t$, c'est vrai en $t=0$, où le cosinus vaut $1$ : $A_{n}V=\frac{{\omega }^2}{{\omega }_0^2}V$. Réciproquement, si cette égalité a lieu, l'identité est vraie pour tout $t$. Un mode de pulsation $\omega$ existe si et seulement si $\frac{{\omega }^2}{{\omega }_0^2}$ est valeur propre de $A_n$, et la forme du mode est un vecteur propre associé.

2) Le spectre par une récurrence. La ligne $j$ de l'égalité $A_{n}V=\lambda V$ s'écrit $-v_{j-1}+2v_j-v_{j+1}=\lambda v_j$, les conventions $v_0=v_{n+1}=0$ rendant compte de la première et de la dernière ligne, qui n'ont que deux coefficients. D'où $v_{j+1}=(2-\lambda )v_j-v_{j-1}$ pour $1\le j\le n$. Si l'on avait $v_1=0$, alors, avec $v_0=0$, la récurrence donnerait de proche en proche $v_2=v_3=\cdots =v_n=0$, soit $V=0$ : exclu. Donc $v_1\ne 0$.

La suite $(v_j{)}_{0\le j\le n+1}$ est le début de la suite définie par $v_0$, $v_1$ et cette récurrence, qu'on peut prolonger à tous les entiers : la théorie de première année s'applique. L'équation caractéristique est $r^2-(2-\lambda )r+1=0$ ; le produit de ses racines vaut $1$.

Pas de racine double. Si l'équation avait une racine double $r_0$, alors $r_0^2=1$, donc $r_0=\pm 1$, et $v_j=(\alpha +\beta j)r_0^j$. La condition $v_0=0$ donne $\alpha =0$, puis $v_{n+1}=0$ donne $\beta (n+1)r_0^{n+1}=0$, soit $\beta =0$ : $V$ serait nul. C'est exclu.

Deux racines distinctes $r$ et $\frac{1}{r}$. Alors $v_j=\alpha r^j+\beta r^{-j}$. La condition $v_0=0$ donne $\beta =-\alpha$, d'où $v_j=\alpha \left(r^j-r^{-j}\right)$, avec $\alpha \ne 0$ puisque $V\ne 0$. La condition $v_{n+1}=0$ donne $r^{n+1}=r^{-(n+1)}$, soit $r^{2(n+1)}=1$.

La quantification. Le nombre $r$ est donc une racine $2(n+1)$-ième de l'unité : $r={\mathrm{e}}^{\mathrm{i}k\pi /(n+1)}$ pour un entier $k$ compris entre $0$ et $2n+1$. Les racines étant distinctes, $r\ne \frac{1}{r}$, c'est-à-dire $r^2\ne 1$ : $k$ n'est ni $0$ ni $n+1$. La somme des racines vaut $2-\lambda$, donc $$\lambda =2-\left(r+\frac{1}{r}\right)=2-2\cos \frac{k\pi }{n+1}=4{\sin }^2\frac{k\pi }{2(n+1)},$$ et $v_j=\alpha \left({\mathrm{e}}^{\mathrm{i}jk\pi /(n+1)}-{\mathrm{e}}^{-\mathrm{i}jk\pi /(n+1)}\right)=2\mathrm{i}\alpha \sin \frac{jk\pi }{n+1}$. Enfin, remplacer $k$ par $2(n+1)-k$ ne change pas $\lambda$ — le cosinus est pair et $2\pi$-périodique — et change seulement le signe de chaque $\sin \frac{jk\pi }{n+1}$ : on peut donc supposer $1\le k\le n$. Ainsi $\lambda$ a la forme annoncée, et $V=2\mathrm{i}\alpha V_k$ est colinéaire à $V_k$.

3) La réciproque, et la diagonalisabilité. Soit $k\in [[1,n]]$ et $\theta =\frac{k\pi }{n+1}$, qui est dans $\left]0,\pi \right[$. Posons $v_j=\sin (j\theta )$ pour $0\le j\le n+1$ : on a bien $v_0=0$ et $v_{n+1}=\sin (k\pi )=0$. La formule $\sin (a+b)+\sin (a-b)=2\sin a\cos b$ donne $v_{j+1}+v_{j-1}=2\cos \theta v_j$, soit $$-v_{j-1}+2v_j-v_{j+1}=(2-2\cos \theta )v_j={\lambda }_k{v}_j(1\le j\le n),$$ qui est la ligne $j$ de $A_n{V}_k={\lambda }_k{V}_k$. Et $V_k\ne 0$, puisque sa première coordonnée $\sin \theta$ est non nulle. Donc ${\lambda }_k$ est valeur propre, de vecteur propre $V_k$.

La fonction $\theta \mapsto 2-2\cos \theta$ est strictement croissante sur $\left]0,\pi \right[$ et y prend ses valeurs dans $\left]0,4\right[$ : les $n$ réels ${\lambda }_1<{\lambda }_2<\cdots <{\lambda }_n$ sont deux à deux distincts et appartiennent à $\left]0,4\right[$. Ce sont $n$ valeurs propres distinctes en dimension $n$ : $A_n$ est diagonalisable, et d'après le 2) il n'y en a pas d'autre, même complexe.

4) La relation de dispersion. D'après le 1), les pulsations propres sont les $\omega >0$ tels que $\frac{{\omega }^2}{{\omega }_0^2}={\lambda }_k$, soit $${\omega }_k={\omega }_0\sqrt{{\lambda }_k}=2{\omega }_0\sin \frac{k\pi }{2(n+1)},$$ le sinus étant positif puisque $0<\frac{k\pi }{2(n+1)}<\frac{\pi }{2}$. Pour la même raison, $0<{\omega }_k<2{\omega }_0$ : la chaîne ne peut pas vibrer plus vite que $2{\omega }_0$ — c'est la pulsation de coupure d'un réseau. Pour $k$ fixé et $n$ tendant vers l'infini, $\frac{k\pi }{2(n+1)}$ tend vers $0$ et $\sin u\sim u$ en $0$, donc $${\omega }_k\sim 2{\omega }_0\frac{k\pi }{2(n+1)}=\frac{\pi {\omega }_0}{n+1}k.$$ Les premières pulsations sont approximativement proportionnelles à $k$ : ce sont les harmoniques d'une corde vibrante fixée à ses deux bouts, et les formes des modes, $\sin \frac{jk\pi }{n+1}$, sont les modes $\sin \frac{k\pi x}{\ell }$ de la corde, échantillonnés aux positions des masses. En notant $a$ l'espacement des masses et $q=\frac{k\pi }{(n+1)a}$ le nombre d'onde du mode $k$, la formule s'écrit $\omega =2{\omega }_0\sin \frac{qa}{2}$ : c'est la relation de dispersion de la chaîne.

5) Les contrôles. La diagonale de $A_n$ ne porte que des $2$ : $\mathrm{tr}{A}_n=2n$. Comme $A_n$ est diagonalisable à valeurs propres réelles, sa trace est la somme de ses valeurs propres : ${\sum }_{k}4{\sin }^2\frac{k\pi }{2(n+1)}=2n$, d'où ${\sum }_{k=1}^n{\sin }^2\frac{k\pi }{2(n+1)}=\frac{n}{2}$.

Pour le déterminant, notons $D_n=\det A_n$ et développons selon la première ligne $(2,-1,0,\dots ,0)$. Le coefficient $2$ contribue $2D_{n-1}$. Le coefficient $-1$, en position $(1,2)$, a pour cofacteur $(-1{)}^{1+2}$ fois le mineur obtenu en supprimant la première ligne et la deuxième colonne ; ce mineur a pour première colonne ${}^t(-1,0,\dots ,0)$, et en le développant selon elle on trouve $-D_{n-2}$. Sa contribution vaut donc $(-1)\times (-1)\times (-D_{n-2})=-D_{n-2}$. D'où $D_n=2D_{n-1}-D_{n-2}$ pour $n\ge 3$, avec $D_1=2$ et $D_2=4-1=3$. Ainsi $D_n-D_{n-1}=D_{n-1}-D_{n-2}=\cdots =D_2-D_1=1$ : la suite est arithmétique, et $D_n=n+1$. Le déterminant est le produit des valeurs propres : $$\prod _{k=1}^{n}4{\sin }^2\frac{k\pi }{2(n+1)}=n+1,$$ et comme chaque facteur $2\sin \frac{k\pi }{2(n+1)}$ est positif, ${\prod }_{k=1}^{n}2\sin \frac{k\pi }{2(n+1)}=\sqrt{n+1}$.

Le cas $n=3$. Directement, en développant selon la première ligne, $$\det (x{I}_3-A_3)=\left|\begin{array}{ccc}x-2& 1& 0\\ 1& x-2& 1\\ 0& 1& x-2\end{array}\right|=(x-2)\left[(x-2{)}^2-1\right]-(x-2)=(x-2)\left[(x-2{)}^2-2\right],$$ de racines $2$, $2-\sqrt{2}$ et $2+\sqrt{2}$. La formule donne ${\lambda }_k=2-2\cos \frac{k\pi }{4}$, soit $2-\sqrt{2}$, $2$ et $2+\sqrt{2}$ pour $k=1,2,3$ : c'est bien le même spectre. Et la somme vaut $6=\mathrm{tr}{A}_3$, le produit $(2-\sqrt{2})\times 2\times (2+\sqrt{2})=4=\det A_3$.

6) La superposition des modes. La matrice $P$ est inversible, puisque ses colonnes sont $n$ vecteurs propres associés à des valeurs propres distinctes, et $P^{-1}{A}_{n}P=\Lambda =\mathrm{diag}({\lambda }_1,\dots ,{\lambda }_n)$. Chaque coordonnée de $Y=P^{-1}X$ est une combinaison linéaire à coefficients constants des $x_j$ : elle est de classe ${\mathcal{C}}^2$, et, la dérivation étant linéaire, $Y^{\prime \prime }=P^{-1}{X}^{\prime \prime }$. Donc $$Y^{\prime \prime }=P^{-1}\left(-{\omega }_0^2{A}_{n}X\right)=-{\omega }_0^2{P}^{-1}{A}_{n}PY=-{\omega }_0^2\Lambda Y,$$ c'est-à-dire, coordonnée par coordonnée, $y_k^{\prime \prime }=-{\omega }_0^2{\lambda }_k{y}_k=-{\omega }_k^2{y}_k$ : le système est découplé. D'après la première année, comme ${\omega }_k>0$, il existe des réels $a_k$ et $b_k$ tels que $y_k(t)=a_k\cos ({\omega }_{k}t)+b_k\sin ({\omega }_{k}t)$. En revenant à $X=PY$ : $$X(t)=\sum _{k=1}^n{y}_k(t)V_k=\sum _{k=1}^n(a_k\cos ({\omega }_{k}t)+b_k\sin ({\omega }_{k}t))V_k.$$ Tout mouvement de la chaîne est une superposition des $n$ modes propres, chacun oscillant à sa propre pulsation ; les coefficients sont fixés par les conditions initiales, $a_k$ étant la coordonnée $k$ de $P^{-1}X(0)$ et ${\omega }_k{b}_k$ celle de $P^{-1}{X}^{\prime }(0)$.

Le théorème obtenu : le spectre du laplacien discret. La matrice tridiagonale $A_n$, de coefficients $2$ sur la diagonale et $-1$ de part et d'autre, est diagonalisable, de valeurs propres deux à deux distinctes ${\lambda }_k=4{\sin }^2\frac{k\pi }{2(n+1)}$, $1\le k\le n$, de vecteurs propres $V_k={\left(\sin \frac{jk\pi }{n+1}\right)}_{1\le j\le n}$. La chaîne de $n$ oscillateurs identiques a pour pulsations propres ${\omega }_k=2{\omega }_0\sin \frac{k\pi }{2(n+1)}$ — sa relation de dispersion —, et tout mouvement est une superposition de ses $n$ modes propres.

Ce que le problème installe. Chercher un mode propre, c'est chercher un vecteur propre ; une matrice tridiagonale à coefficients constants se réduit par une récurrence d'ordre deux, dont les conditions aux bords quantifient les valeurs propres — c'est le mécanisme même de la quantification des modes d'une corde, ou des niveaux d'énergie d'une particule dans une boîte. La matrice $A_n$ est le laplacien discret : la version discrète de $-\frac{{\mathrm{d}}^2}{\mathrm{d}{x}^2}$ avec extrémités fixées ; la matrice circulante du benzène, au TD 1, en était la version périodique. Et une fois la base propre trouvée, le système différentiel se découple en $n$ oscillateurs indépendants — c'est tout l'usage de la réduction en mécanique.