Quand $u^3=u$ : trois sous-espaces propres

$P=X^3-X=X(X-1)(X+1)$ annule $u$, et ses trois facteurs sont deux à deux premiers entre eux (racines distinctes) : l'annulateur est scindé à racines simples, donc $u$ est diagonalisable et $E$ est la somme directe de ses sous-espaces propres : $$E=\mathrm{Ker}(u)\oplus \mathrm{Ker}(u-\mathrm{id})\oplus \mathrm{Ker}(u+\mathrm{id}).$$ $P$ est scindé à racines simples : $u$ est diagonalisable, $\mathrm{Sp}(u)\subset \{0,1,-1\}$. Enfin $\mathrm{rg}(u)=\dim \mathrm{Ker}(u-\mathrm{id})+\dim \mathrm{Ker}(u+\mathrm{id})$ (théorème du rang : le noyau est le premier facteur, l'image est engendrée par les deux autres). Un tel $u$ généralise les symétries ($u^2=\mathrm{id}$) : sur chaque facteur, $u$ vaut $0$, $+\mathrm{id}$ ou $-\mathrm{id}$.