$u^2$ diagonalisable et $u$ inversible

Ce qu'on a le droit d'utiliser. Le théorème « un endomorphisme est diagonalisable si et seulement s'il admet un polynôme annulateur scindé à racines simples », son corollaire « $v$ est diagonalisable si et seulement si ${\prod }_{\mu \in \mathrm{Sp}(v)}(X-\mu )$ annule $v$ », et, dans $\mathbb{C}$, l'existence pour tout complexe non nul $\mu$ d'une racine carrée $s_{\mu }$, l'autre étant $-s_{\mu }$ (première année).

La stratégie. Un annulateur de $u^2$ fournit un annulateur de $u$ : si $Q(u^2)=0$, alors le polynôme $Q(X^2)$, obtenu en remplaçant $X$ par $X^2$, annule $u$. Tout le travail est de vérifier qu'il reste à racines simples — et c'est là que l'inversibilité intervient.

a) L'annulateur de $u^2$. L'endomorphisme $u^2=u\circ u$ est inversible comme composée de deux bijections ; il est donc injectif, et $0$ n'est pas valeur propre de $u^2$. Comme $u^2$ est diagonalisable, le corollaire du cours dit que $Q={\prod }_{\mu \in \mathrm{Sp}(u^2)}(X-\mu )$ annule $u^2$.

b) L'annulateur composé. Posons $R=Q(X^2)={\prod }_{\mu \in \mathrm{Sp}(u^2)}\left(X^2-\mu \right)$. En évaluant en $u$, chaque facteur devient $u^2-\mu {\mathrm{id}}_E$, donc $R(u)={\prod }_{\mu }\left(u^2-\mu {\mathrm{id}}_E\right)=Q(u^2)=0$ : $R$ annule $u$. Pour chaque $\mu \in \mathrm{Sp}(u^2)$, choisissons une racine carrée $s_{\mu }$ de $\mu$ : alors $X^2-\mu =(X-s_{\mu })(X+s_{\mu })$, et $R={\prod }_{\mu }(X-s_{\mu })(X+s_{\mu })$ est scindé. Ses racines sont deux à deux distinctes :

• dans un même facteur, $s_{\mu }\ne -s_{\mu }$, car $s_{\mu }\ne 0$ — c'est ici que sert $\mu \ne 0$, donc l'inversibilité de $u$ ;
• entre deux facteurs associés à $\mu \ne {\mu }^{\prime }$, les racines ont des carrés différents, $\mu$ et ${\mu }^{\prime }$, donc sont différentes.

$R$ est un polynôme annulateur de $u$ scindé à racines simples : $u$ est diagonalisable.

c) Sans l'inversibilité. Soit $u$ l'endomorphisme de ${\mathbb{C}}^2$ de matrice $N=\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ 0& 0\end{array}\right)$. Alors $N^2=0$ : $u^2$ est l'endomorphisme nul, qui est diagonalisable. Mais $u$ ne l'est pas : $X^2$ l'annule, donc son spectre est $\{0\}$, et s'il était diagonalisable il serait nul. La démonstration du b) s'arrête exactement où on l'attendait : $\mathrm{Sp}(u^2)=\{0\}$, $Q=X$, et $R=X^2$ a une racine double.

d) Le cas réel. Si $\mathrm{Sp}(u^2)\subset \left]0,+\infty \right[$, chaque facteur $X^2-\mu$ s'écrit $\left(X-\sqrt{\mu }\right)\left(X+\sqrt{\mu }\right)$ avec des racines réelles et distinctes, puisque $\sqrt{\mu }>0$ ; et, comme au b), deux facteurs distincts n'ont pas de racine commune. Le polynôme $R$ est scindé sur $\mathbb{R}$ à racines simples et annule $u$ : $u$ est diagonalisable sur $\mathbb{R}$.

Pour la rotation d'angle $\frac{\pi }{2}$, de matrice $R_0=\left(\begin{array}{cc}0& -1\\ 1& 0\end{array}\right)$, on a $R_0^2=-I_2$ : $u^2$ est diagonal, donc diagonalisable sur $\mathbb{R}$, mais son spectre $\{-1\}$ n'est pas dans $\left]0,+\infty \right[$. Et en effet $u$ n'est pas diagonalisable sur $\mathbb{R}$ : son polynôme caractéristique $X^2+1$ n'a aucune racine réelle, $u$ n'a aucune valeur propre réelle. L'hypothèse de positivité est indispensable. Sur $\mathbb{C}$, en revanche, $u$ est inversible et le b) s'applique : $R_0$ est diagonalisable, de valeurs propres $\mathrm{i}$ et $-\mathrm{i}$.

Ce que l'exercice installe. Un annulateur se compose : de $Q(u^2)=0$ on tire que $Q(X^2)$ annule $u$. Il reste à vérifier les racines simples, et c'est là que servent l'inversibilité — pas de racine carrée double en $0$ — et, sur $\mathbb{R}$, la positivité. Le corollaire du cours, avec le produit étendu au spectre, suffit à tout : on n'a besoin d'aucun autre polynôme annulateur privilégié. C'est le passage des carrés aux racines qu'on fait en mécanique : dans l'équation $X^{\prime \prime }=-{\omega }_0^2{A}_{n}X$ du problème de cette séance, ce sont les valeurs propres de $A_n$ que l'on calcule, et les pulsations propres en sont, au facteur ${\omega }_0$ près, les racines carrées positives.