Une matrice nilpotente

Réduction des Endomorphismes et Matrices Carrées · Niveau ★★★ — approfondissement · niveau 3 (difficile)

Énoncé

Soit $N = (1 - 1 1 - 1)$ . On dit qu'une matrice carrée $M$ est nilpotente s'il existe un entier $k \geq 1$ tel que $M^{k} = 0$ . Montrer que $N$ est nilpotente et donner $χ_{N}$ . Montrer ensuite qu'une matrice nilpotente non nulle n'est jamais diagonalisable.

Corrigé

Nilpotence. Un calcul ligne par colonne donne $N^{2} = (1 - 1 - 1 + 1 1 - 1 - 1 + 1) = 0 :$ $N$ est nilpotente, et $N \neq = 0$ .

Polynôme caractéristique. En dimension $2$ , $χ_{N} = X^{2} - tr (N) X + det N$ , avec $tr N = 1 - 1 = 0$ et $det N = - 1 + 1 = 0$ : $χ_{N} = X^{2}$ . Le spectre de $N$ est ${0}$ , avec la multiplicité $2$ , et $E_{0} (N) = ker N = Vect (^{t} (1, - 1))$ est une droite : $dim E_{0} (N) = 1 < 2$ , donc $N$ n'est pas diagonalisable.

Le cas général. Soit $M \in M_{n} (K)$ nilpotente, avec $M^{k} = 0$ . Le polynôme $X^{k}$ annule $M$ , et toute valeur propre de $M$ en est racine : $Sp (M) \subset {0}$ . Si $M$ était diagonalisable, on aurait $M = P D P^{- 1}$ avec $D$ diagonale ; les coefficients diagonaux de $D$ sont des valeurs propres de $D$ , donc de $M$ , donc tous nuls : $D = 0$ et $M = P D P^{- 1} = 0$ . Une matrice nilpotente non nulle n'est donc jamais diagonalisable. Elle est en revanche trigonalisable sur $C$ , comme toute matrice complexe, et sa forme triangulaire a une diagonale nulle.

Énoncé

Corrigé

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