Au plus $n+1$ directions deux à deux obtuses : le tétraèdre du méthane

La stratégie du a) est de fabriquer, à partir d'une relation de liaison, un vecteur dont la norme au carré est à la fois positive et une somme de termes négatifs.

a) Pas plus de $n+1$ directions deux à deux obtuses. Si $p\le n+1$, il n'y a rien à démontrer. Supposons par l'absurde $p\ge n+2$. Les $n+1$ vecteurs $u_1,\dots ,u_{n+1}$ sont liés : il existe des réels ${\lambda }_1,\dots ,{\lambda }_{n+1}$, non tous nuls, tels que ${\sum }_i{\lambda }_i{u}_i=0$. Quitte à changer tous les ${\lambda }_i$ en leurs opposés, on peut supposer que l'un au moins est strictement positif. Notons $I=\{i\mid {\lambda }_i>0\}$, qui n'est pas vide, $J=\{j\mid {\lambda }_j<0\}$, et $$v=\sum _{i\in I}{\lambda }_i{u}_i=\sum _{j\in J}(-{\lambda }_j)u_j,$$ la seconde écriture venant de la relation de liaison, où les termes de coefficient nul ne comptent pas. Calculons $\Vert v{\Vert }^2$ en faisant le produit scalaire de la première écriture par la seconde : $$\Vert v{\Vert }^2=\sum _{i\in I}\sum _{j\in J}{\lambda }_i(-{\lambda }_j)⟨u_i,u_j⟩.$$ Chaque terme est le produit de ${\lambda }_i>0$, de $-{\lambda }_j>0$ et de $⟨u_i,u_j⟩<0$ — les indices $i\in I$ et $j\in J$ sont distincts, puisque $I$ et $J$ sont disjoints : chaque terme est négatif, et $\Vert v{\Vert }^2\le 0$. Une norme étant positive, $\Vert v{\Vert }^2=0$ et $v=0$. (Si $J$ est vide, la seconde écriture de $v$ est une somme vide, et $v=0$ directement.)

Faisons maintenant intervenir le vecteur $u_{n+2}$, qui n'a pas encore servi : $$0=⟨v,u_{n+2}⟩=\sum _{i\in I}{\lambda }_i⟨u_i,u_{n+2}⟩<0,$$ car $I$ n'est pas vide, chaque ${\lambda }_i$ y est strictement positif et chaque $⟨u_i,u_{n+2}⟩$ strictement négatif. Contradiction : $p\le n+1$.

Le point délicat. Le découpage selon le signe des coefficients est tout l'argument : il remplace une relation de liaison quelconque par une égalité entre deux combinaisons à coefficients positifs, dont le produit scalaire se contrôle terme à terme.

b) L'angle le plus obtus possible. Développons la norme de la somme, qui est positive : $$0\le \Vert \sum _{i=1}^{n+1}{u}_i{\Vert }^2=\sum _{i=1}^{n+1}\Vert u_i{\Vert }^2+\sum _{i\ne j}⟨u_i,u_j⟩=(n+1)+(n+1)nc,$$ puisqu'il y a $n+1$ termes diagonaux égaux à $1$ et $(n+1)n$ couples $(i,j)$ avec $i\ne j$. En divisant par $n+1>0$, on obtient $1+nc\ge 0$, soit $c\ge -\frac{1}{n}$, avec égalité si et seulement si la norme de la somme est nulle, c'est-à-dire ${\sum }_i{u}_i=0$. (Cette minoration n'utilise pas la dimension : elle vaut pour $n+1$ vecteurs unitaires de n'importe quel espace préhilbertien.)

c) Une famille qui reconstruit tous les vecteurs. Une base. Soient ${\mu }_1,\dots ,{\mu }_n$ tels que ${\sum }_{i=1}^n{\mu }_i{u}_i=0$, et $s={\sum }_i{\mu }_i$. Le produit scalaire de cette relation avec $u_{n+1}$ donne $cs=0$, donc $s=0$ puisque $c\ne 0$. Le produit scalaire avec $u_j$, pour $j\le n$, donne ${\mu }_j+c(s-{\mu }_j)=0$, soit $(1-c){\mu }_j=0$ puisque $s=0$ ; comme $c\ne 1$, ${\mu }_j=0$. La famille $(u_1,\dots ,u_n)$ est libre, de cardinal $n=\dim E$ : c'est une base.

La formule de reconstruction. L'application $T:x\mapsto {\sum }_{i=1}^{n+1}⟨x,u_i⟩u_i$ est linéaire. Pour $j$ fixé, en utilisant $⟨u_j,u_j⟩=1$, $⟨u_j,u_i⟩=c$ pour $i\ne j$, puis ${\sum }_{i\ne j}{u}_i=-u_j$ (par le b)) : $$T(u_j)=u_j+c\sum _{i\ne j}{u}_i=u_j-c{u}_j=(1+\frac{1}{n})u_j=\frac{n+1}{n}{u}_j.$$ Les applications linéaires $T$ et $\frac{n+1}{n}\mathrm{id}$ coïncident sur la base $(u_1,\dots ,u_n)$ : elles sont égales. D'où la première formule ; la seconde s'obtient en faisant le produit scalaire avec $x$ : $$\sum _{i=1}^{n+1}⟨x,u_i{⟩}^2=⟨T(x),x⟩=\frac{n+1}{n}\Vert x{\Vert }^2.$$

Ce qu'elle dit. Ces $n+1$ vecteurs liés reconstruisent tout vecteur comme le ferait une base orthonormée, au facteur $\frac{n+1}{n}$ près.

d) Le méthane. Chacun des quatre vecteurs a pour norme au carré $\frac{1+1+1}{3}=1$. Dans chacun des six couples, les coordonnées coïncident à une place et s'opposent aux deux autres : le produit scalaire vaut toujours $\frac{1-1-1}{3}=-\frac{1}{3}$ (par exemple $\frac{1}{3}(1\times 1+1\times (-1)+1\times (-1))$ pour les deux premiers). La somme des quatre vecteurs est nulle, coordonnée par coordonnée ($1+1-1-1=0$). Avec $n=3$, on a bien $c=-\frac{1}{3}=-\frac{1}{n}$ : c'est le cas d'égalité. Ce sont, au facteur $\frac{1}{\sqrt{3}}$ près, quatre sommets du cube $[-1,1{]}^3$ pris un sur deux : un tétraèdre régulier.

Dans la molécule de méthane, l'atome de carbone est au centre et les quatre atomes d'hydrogène aux sommets d'un tétraèdre régulier : l'angle entre deux liaisons est $$\theta =\arccos (-\frac{1}{3})\approx 1,9106\text{rad}\approx 109,47^{\circ }.$$ Contrôle du c) sur $x=e_1$ : ${\sum }_i⟨e_1,u_i⟩u_i=\frac{1}{3}((1,1,1)+(1,-1,-1)-(-1,1,-1)-(-1,-1,1))=\frac{4}{3}{e}_1$.

Ce que l'exercice installe. Deux gestes : couper une relation de liaison selon le signe de ses coefficients, et développer la norme d'une somme pour minorer un produit scalaire moyen. Le cas extrême — $n+1$ vecteurs unitaires de somme nulle, à angles égaux — est le simplexe régulier : les $180^{\circ }$ du dioxyde de carbone pour $n=1$, les $120^{\circ }$ d'une molécule plane comme le trifluorure de bore pour $n=2$, les $109,47^{\circ }$ du méthane et de tout carbone tétraédrique pour $n=3$. La méthode de répulsion des doublets place les doublets « le plus loin possible » : l'exercice dit ce que cela veut dire.