Au plus $n+1$ directions deux à deux obtuses : le tétraèdre du méthane

La stratégie du a) est de fabriquer, à partir d'une relation de liaison, un vecteur dont la norme au carré est à la fois positive et une somme de termes négatifs.

a) Pas plus de $n+1$ directions deux à deux obtuses. Si $p\le n+1$, il n'y a rien à démontrer. Supposons par l'absurde $p\ge n+2$. Les $n+1$ vecteurs $u_1,\dots ,u_{n+1}$ sont liés : il existe des réels ${\lambda }_1,\dots ,{\lambda }_{n+1}$, non tous nuls, tels que ${\sum }_i{\lambda }_i{u}_i=0$. Quitte à changer tous les ${\lambda }_i$ en leurs opposés, on peut supposer que l'un au moins est strictement positif. Notons $I=\{i\mid {\lambda }_i>0\}$, qui n'est pas vide, $J=\{j\mid {\lambda }_j<0\}$, et $$v=\sum _{i\in I}{\lambda }_i{u}_i=\sum _{j\in J}(-{\lambda }_j)u_j,$$ la seconde écriture venant de la relation de liaison, où les termes de coefficient nul ne comptent pas. Calculons $\Vert v{\Vert }^2$ en faisant le produit scalaire de la première écriture par la seconde : $$\Vert v{\Vert }^2=\sum _{i\in I}\sum _{j\in J}{\lambda }_i(-{\lambda }_j)⟨u_i,u_j⟩.$$ Chaque terme est le produit de ${\lambda }_i>0$, de $-{\lambda }_j>0$ et de $⟨u_i,u_j⟩<0$ — les indices $i\in I$ et $j\in J$ sont distincts, puisque $I$ et $J$ sont disjoints : chaque terme est négatif, et $\Vert v{\Vert }^2\le 0$. Une norme étant positive, $\Vert v{\Vert }^2=0$ et $v=0$. (Si $J$ est vide, la seconde écriture de $v$ est une somme vide, et $v=0$ directement.)

Faisons maintenant intervenir le vecteur $u_{n+2}$, qui n'a pas encore servi : $$0=⟨v,u_{n+2}⟩=\sum _{i\in I}{\lambda }_i⟨u_i,u_{n+2}⟩<0,$$ car $I$ n'est pas vide, chaque ${\lambda }_i$ y est strictement positif et chaque $⟨u_i,u_{n+2}⟩$ strictement négatif. Contradiction : $p\le n+1$.

Le point délicat. Le découpage selon le signe des coefficients est tout l'argument : il remplace une relation de liaison quelconque par une égalité entre deux combinaisons à coefficients positifs, dont le produit scalaire se contrôle terme à terme.