Cauchy-Schwarz, les deux versions

Les deux énoncés sont la même inégalité, appliquée dans deux espaces différents à un vecteur et à la fonction (ou au vecteur) constante $1$. C'est le réflexe à installer : devant une somme ou une intégrale sans facteur apparent, le second vecteur est le vecteur constant.

1. Dans ${\mathbb{R}}^n$ canonique, avec $u=(1,\dots ,1)$ et $a=(a_1,\dots ,a_n)$ : $$\left|⟨u,a⟩\right|\le \Vert u\Vert \Vert a\Vert \text{soit}\left|\sum a_k\right|\le \sqrt{n}\sqrt{\sum a_k^2},$$ et l'on élève au carré. Égalité si et seulement si $(u,a)$ est liée, c'est-à-dire $a$ colinéaire à $(1,\dots ,1)$ : tous les $a_k$ sont égaux.

2. Dans $\mathcal{C}([0,1],\mathbb{R})$ muni de ${\int }_0^{1}fg$, avec la fonction constante $1$, qui est unitaire ($\Vert 1{\Vert }^2={\int }_0^{1}1=1$) : $$\left|{\int }_0^{1}f\right|=\left|⟨1,f⟩\right|\le \Vert 1\Vert \Vert f\Vert =\sqrt{{\int }_0^1{f}^2}.$$ Égalité si et seulement si $f$ est colinéaire à $1$ : $f$ est constante.

Contrôles chiffrés : pour $a=(1,2,3)$, $36\le 3\times 14=42$ ✓{} (inégalité stricte, les $a_k$ diffèrent) ; pour $f(t)=t$, ${\left(\frac{1}{2}\right)}^2=\frac{1}{4}\le \frac{1}{3}$ ✓{} (stricte, $f$ n'est pas constante).