Est-ce un produit scalaire ?

Les trois premiers axiomes ne coûtent rien : l'application est bilinéaire (chaque $P\mapsto P(k)$ est linéaire, et le produit de deux formes linéaires est bilinéaire), symétrique (le produit des réels l'est), et positive puisque $⟨P,P⟩=P(0{)}^2+P(1{)}^2+P(2{)}^2\ge 0$.

Tout se joue sur le caractère défini, comme annoncé au cours. Si $⟨P,P⟩=0$, alors $P(0)=P(1)=P(2)=0$ : $P$ a trois racines distinctes alors que $\mathrm{deg}P\le 2$, donc $P=0$. C'est bien un produit scalaire.

L'axiome tombe si l'on change d'espace : sur ${\mathbb{R}}_3[X]$, la même formule donne $\Vert X(X-1)(X-2)\Vert =0$ pour un polynôme non nul — la borne $n+1$ points pour ${\mathbb{R}}_n[X]$ du cours n'est pas décorative.

Calculs. Les valeurs de $1+X$ en $0,1,2$ sont $1,2,3$ ; celles de $X$ sont $0,1,2$ : $$\Vert 1+X{\Vert }^2=1+4+9=14,\Vert X{\Vert }^2=0+1+4=5,⟨1+X,X⟩=0+2+6=8.$$ D'où $\Vert 1+X\Vert =\sqrt{14}$ et $$\cos \theta =\frac{8}{\sqrt{14}\sqrt{5}}=\frac{8}{\sqrt{70}}=\frac{4\sqrt{70}}{35}\approx 0,9562,\theta \approx 0,297\text{rad}\approx 17,0^{\circ }.$$ Contrôle chiffré : Cauchy-Schwarz impose $|⟨1+X,X⟩|\le \Vert 1+X\Vert \Vert X\Vert$, soit $8\le \sqrt{70}\approx 8,3666$ ✓{} — l'inégalité est presque saturée, ce que confirme l'angle : $17^{\circ }$, les deux polynômes sont presque colinéaires pour ce produit scalaire.