Gram-Schmidt, sans une racine carrée avant la fin

On applique la remarque du cours : orthogonaliser d'abord, normaliser à la fin, en remplaçant à chaque étape le vecteur obtenu par un vecteur colinéaire à coordonnées entières. $$v_1=u_1=(1,1,1),\Vert v_1{\Vert }^2=3,e_1=\frac{1}{\sqrt{3}}(1,1,1).$$ $$⟨u_2,e_1⟩=\frac{2}{\sqrt{3}}⟹v_2=u_2-\frac{2}{3}(1,1,1)=\frac{1}{3}(1,1,-2)\parallel (1,1,-2),e_2=\frac{1}{\sqrt{6}}(1,1,-2).$$ $$\begin{array}{rl}⟨u_3,e_1⟩& =\frac{1}{\sqrt{3}},⟨u_3,e_2⟩=\frac{1}{\sqrt{6}},\\ v_3& =(1,0,0)-\frac{1}{3}(1,1,1)-\frac{1}{6}(1,1,-2)=\frac{1}{2}(1,-1,0),e_3=\frac{1}{\sqrt{2}}(1,-1,0).\end{array}$$

Contrôles chiffrés. Orthogonalité : $⟨e_1,e_2⟩=\frac{1+1-2}{\sqrt{18}}=0$, $⟨e_1,e_3⟩=\frac{1-1+0}{\sqrt{6}}=0$, $⟨e_2,e_3⟩=\frac{1-1+0}{\sqrt{12}}=0$ ; normes : $\frac{1+1+1}{3}=\frac{1+1+4}{6}=\frac{1+1}{2}=1$ ✓. Autrement dit la matrice $P=\left(\begin{array}{ccc}{e}_1& e_2& e_3\end{array}\right)$ vérifie $P^{\top }P=I_3$.

Les deux conditions du théorème. Emboîtement : $\mathrm{Vect}(e_1)=\mathrm{Vect}(u_1)$, $\mathrm{Vect}(e_1,e_2)=\mathrm{Vect}(u_1,u_2)$ (c'est le plan $x=y$), $\mathrm{Vect}(e_1,e_2,e_3)={\mathbb{R}}^3$ ✓. Signe : $$⟨e_1,u_1⟩=\sqrt{3}>0,⟨e_2,u_2⟩=\frac{2}{\sqrt{6}}=\frac{\sqrt{6}}{3}>0,⟨e_3,u_3⟩=\frac{1}{\sqrt{2}}>0✓$$ — c'est donc la famille orthonormale du théorème, la seule qui vérifie les deux conditions. En changeant l'ordre des $u_i$ on en obtiendrait une autre : ici $e_1$ est imposé par $u_1$, comme le rappelle l'encadré du cours.