L'inégalité de Heisenberg sur un segment

Ce qu'on a le droit d'utiliser. L'intégration par parties ; le produit scalaire $⟨g,h⟩={\int }_a^{b}gh$ et Cauchy-Schwarz avec son cas d'égalité ; les équations différentielles linéaires du premier ordre. La stratégie : une intégration par parties transforme $\int f^2$ en un produit scalaire de $(x-c)f$ et de $f^{\prime }$, que Cauchy-Schwarz sait majorer.

a) L'intégration par parties. Les fonctions $x\mapsto x-c$ et $f^2$ sont de classe ${\mathcal{C}}^1$ sur $[a,b]$, et $(f^2{)}^{\prime }=2f{f}^{\prime }$. En intégrant $1\times f^2$ par parties, avec $x-c$ pour primitive de $1$ : $${\int }_a^b{f}^2=[(x-c)f(x{)}^2{]}_a^b-{\int }_a^b(x-c)\cdot 2f(x)f^{\prime }(x)\mathrm{d}x.$$ Le crochet vaut $(b-c)f(b{)}^2-(a-c)f(a{)}^2=0$, puisque $f$ s'annule aux deux bornes : c'est là, et là seulement, que sert cette hypothèse. D'où l'égalité annoncée. (Le choix de la primitive $x-c$ est libre : il permettra de centrer sur la position moyenne.)

b) Cauchy-Schwarz. Le a) s'écrit ${\int }_a^b{f}^2=-2⟨(x-c)f,f^{\prime }⟩$ pour le produit scalaire $⟨g,h⟩={\int }_a^{b}gh$, les deux fonctions $x\mapsto (x-c)f(x)$ et $f^{\prime }$ étant continues. En élevant au carré et en appliquant Cauchy-Schwarz : $$({\int }_a^b{f}^2{)}^2=4⟨(x-c)f,f^{\prime }{⟩}^2\le 4\Vert (x-c)f{\Vert }^2\Vert f^{\prime }{\Vert }^2,$$ ce qui est l'inégalité annoncée.

Elle est stricte. Supposons l'égalité. Par le cas d'égalité de Cauchy-Schwarz, la famille formée de $(x-c)f$ et de $f^{\prime }$ est liée : il existe $(\alpha ,\beta )\ne (0,0)$ tel que $\alpha (x-c)f(x)+\beta f^{\prime }(x)=0$ pour tout $x\in [a,b]$. Si $\beta =0$, alors $\alpha \ne 0$ et $(x-c)f(x)=0$ pour tout $x$ : $f$ est nulle sauf peut-être en $c$, donc nulle par continuité, ce qui est exclu. Si $\beta \ne 0$, posons $\lambda =-\alpha /\beta$ : $f$ est solution de l'équation différentielle linéaire $y^{\prime }=\lambda (x-c)y$, dont les solutions sur $[a,b]$ sont les fonctions $x\mapsto K\exp (\frac{\lambda }{2}(x-c{)}^2)$. L'exponentielle ne s'annulant pas, $f(a)=0$ impose $K=0$, donc $f=0$ : exclu encore. L'inégalité est stricte.

Le point délicat. Le cas d'égalité aurait été une gaussienne, $x\mapsto K{e}^{\lambda (x-c{)}^2/2}$ ; mais une gaussienne ne s'annule nulle part, et ne peut donc pas vérifier les conditions aux bornes. Sur $\mathbb{R}$ tout entier, avec des intégrales généralisées, la gaussienne réalise l'égalité : c'est la version complète de l'inégalité, qui relève du chapitre 9.

c) Le principe d'incertitude. Appliquons le b) sur $[0,\ell ]$ à $f=\psi$, qui est non nulle (${\int }_0^{\ell }{\psi }^2=1$) et nulle aux bornes, avec $c=⟨x⟩$ : $$1=({\int }_0^{\ell }{\psi }^2{)}^2<4{\int }_0^{\ell }(x-⟨x⟩{)}^2{\psi }^2{\int }_0^{\ell }{\psi }^{\prime 2}=4(\Delta x{)}^2\frac{(\Delta p{)}^2}{{\hslash }^2}.$$ En prenant la racine carrée, $\Delta x\Delta p>\frac{\hslash }{2}$. (Que $(\Delta p{)}^2$ vaille bien ${\hslash }^2\int {\psi }^{\prime 2}$ pour une fonction d'onde réelle est un résultat de mécanique quantique, admis ici : l'exercice prend cette formule comme définition.)

d) L'état fondamental. Position moyenne. ($\psi$ est bien normalisée : ${\sin }^{2}u=\frac{1-\cos 2u}{2}$ donne ${\int }_0^{\ell }{\psi }^2=\frac{2}{\ell }\cdot \frac{\ell }{2}=1$.) Posons $x=\frac{\ell }{2}+s$ avec $s\in [-\frac{\ell }{2},\frac{\ell }{2}]$ : alors $\sin \frac{\pi x}{\ell }=\sin (\frac{\pi }{2}+\frac{\pi s}{\ell })=\cos \frac{\pi s}{\ell }$, fonction paire de $s$. Donc ${\int }_0^{\ell }(x-\frac{\ell }{2}){\psi }^2$ est l'intégrale d'une fonction impaire de $s$ sur un intervalle symétrique : elle est nulle, et $⟨x⟩=\frac{\ell }{2}{\int }_0^{\ell }{\psi }^2=\frac{\ell }{2}$.

Dispersion en position. Avec le même changement de variable et ${\cos }^{2}v=\frac{1+\cos 2v}{2}$, $$(\Delta x{)}^2=\frac{2}{\ell }{\int }_{-\ell /2}^{\ell /2}{s}^2{\cos }^2\frac{\pi s}{\ell }\mathrm{d}s=\frac{1}{\ell }{\int }_{-\ell /2}^{\ell /2}{s}^2\mathrm{d}s+\frac{1}{\ell }{\int }_{-\ell /2}^{\ell /2}{s}^2\cos \frac{2\pi s}{\ell }\mathrm{d}s.$$ La première intégrale vaut $\frac{1}{\ell }\cdot \frac{2}{3}(\frac{\ell }{2}{)}^3=\frac{{\ell }^2}{12}$. Pour la seconde, posons $k=\frac{2\pi }{\ell }$ ; une primitive de $s\mapsto s^2\cos (ks)$ est $$F(s)=\frac{s^2\sin (ks)}{k}+\frac{2s\cos (ks)}{k^2}-\frac{2\sin (ks)}{k^3},$$ comme on le vérifie en dérivant. Aux bornes $s=\pm \frac{\ell }{2}$, on a $ks=\pm \pi$ : les sinus sont nuls et les cosinus valent $-1$, donc $$F\left(\frac{\ell }{2}\right)-F(-\frac{\ell }{2})=-\frac{\ell }{k^2}-\frac{\ell }{k^2}=-\frac{2\ell }{k^2}=-\frac{{\ell }^3}{2{\pi }^2}.$$ Finalement $$(\Delta x{)}^2=\frac{{\ell }^2}{12}-\frac{{\ell }^2}{2{\pi }^2}={\ell }^2\frac{{\pi }^2-6}{12{\pi }^2},$$ soit $\Delta x\approx 0,1808\ell$.

Dispersion en impulsion. ${\psi }^{\prime }(x)=\sqrt{2/\ell }\frac{\pi }{\ell }\cos \frac{\pi x}{\ell }$, et le même calcul que pour la normalisation donne ${\int }_0^{\ell }{\psi }^{\prime 2}=\frac{{\pi }^2}{{\ell }^2}$, d'où $\Delta p=\frac{\pi \hslash }{\ell }$.

Le produit. $(\frac{\Delta x\Delta p}{\hslash }{)}^2=\frac{{\pi }^2-6}{12{\pi }^2}\cdot {\pi }^2=\frac{{\pi }^2-6}{12}$, soit $$\frac{\Delta x\Delta p}{\hslash }=\sqrt{\frac{{\pi }^2-6}{12}}\approx 0,568>0,5.$$ L'inégalité est vérifiée, avec une marge d'environ $14$ % : l'état fondamental du puits est proche de l'optimum sans l'atteindre, comme le b) l'imposait.

Ce que l'exercice installe. Une intégration par parties fabrique un produit scalaire là où il n'y en avait pas, et Cauchy-Schwarz le majore ; le cas d'égalité, lu comme une équation différentielle, dit si la borne est atteinte. C'est la démonstration du principe d'incertitude de Heisenberg, $\Delta x\Delta p\ge \frac{\hslash }{2}$, dont seul un paquet d'ondes gaussien atteint la borne — ce qu'un puits de largeur finie interdit.