mathématiques (PC) · Chapitre 3 · Exercice de TD

L'inégalité de Heisenberg sur un segment

Espaces Préhilbertiens Réels et Espaces Euclidiens · A. Produit scalaire, norme euclidienne, Cauchy-Schwarz · niveau 3 (difficile)

Énoncé

Soient $a < b$ , $c \in R$ et $f \in C^{1} ([a, b], R)$ non nulle, telle que $f (a) = f (b) = 0$ .

a) Montrer que $\int_{a}^{b} f (x)^{2} d x = - 2 \int_{a}^{b} (x - c) f (x) f^{'} (x) d x$ .

b) En déduire que $(\int_{a}^{b} f (x)^{2} d x)^{2} \leq 4 (\int_{a}^{b} (x - c)^{2} f (x)^{2} d x) (\int_{a}^{b} f^{'} (x)^{2} d x),$ et montrer que l'inégalité est stricte. (Pour le cas d'égalité, écrire l'équation différentielle qu'il imposerait.)

c) (Lecture quantique.) Une particule dans un puits infini $[0, ℓ]$ est décrite par une fonction d'onde réelle $ψ$ , de classe $C^{1}$ , nulle en $0$ et en $ℓ$ , avec $\int_{0}^{ℓ} ψ^{2} = 1$ . On pose $⟨ x ⟩ = \int_{0}^{ℓ} x ψ (x)^{2} d x$ (la position moyenne), $(Δ x)^{2} = \int_{0}^{ℓ} (x - ⟨ x ⟩)^{2} ψ (x)^{2} d x$ et $(Δ p)^{2} = ℏ^{2} \int_{0}^{ℓ} ψ^{'} (x)^{2} d x$ . Montrer que $Δ x Δ p > \frac{ℏ}{2}$ .

d) (Contrôle.) Pour l'état fondamental $ψ (x) = 2/ ℓ sin \frac{π x}{ℓ}$ , calculer $⟨ x ⟩$ , $Δ x$ , $Δ p$ et le rapport $\frac{Δ x Δ p}{ℏ}$ .

Corrigé de la question 1

Ce qu'on a le droit d'utiliser. L'intégration par parties ; le produit scalaire $⟨ g, h ⟩ = \int_{a}^{b} g h$ et Cauchy-Schwarz avec son cas d'égalité ; les équations différentielles linéaires du premier ordre. La stratégie : une intégration par parties transforme $\int f^{2}$ en un produit scalaire de $(x - c) f$ et de $f^{'}$ , que Cauchy-Schwarz sait majorer.

a) L'intégration par parties. Les fonctions $x \mapsto x - c$ et $f^{2}$ sont de classe $C^{1}$ sur $[a, b]$ , et $(f^{2})^{'} = 2 f f^{'}$ . En intégrant $1 \times f^{2}$ par parties, avec $x - c$ pour primitive de $1$ : $\int_{a}^{b} f^{2} = [(x - c) f (x)^{2}]_{a}^{b} - \int_{a}^{b} (x - c) \cdot 2 f (x) f^{'} (x) d x .$ Le crochet vaut $(b - c) f (b)^{2} - (a - c) f (a)^{2} = 0$ , puisque $f$ s'annule aux deux bornes : c'est là, et là seulement, que sert cette hypothèse. D'où l'égalité annoncée. (Le choix de la primitive $x - c$ est libre : il permettra de centrer sur la position moyenne.)

Question 2 : comment l'IA t'aide

Élève

L'inégalité vient de Cauchy-Schwarz appliqué à l'égalité du a). Pour la stricte, j'écris qu'en cas d'égalité $f^{'}$ serait proportionnelle à $(x - c) f$ , mais je ne vois pas où est la contradiction.

Attention : le cas d'égalité dit que la famille formée de $(x - c) f$ et $f^{'}$ est liée, ce qui ne signifie pas forcément que $f^{'}$ est un multiple de $(x - c) f$ . Écris une relation de liaison générale : quel cas as-tu oublié ?

Élève

$α (x - c) f + β f^{'} = 0$ avec $(α, β) \neq = (0, 0)$ . Si $β = 0$ , alors $(x - c) f$ est nulle, donc $f$ aussi par continuité. Sinon $f^{'} = λ (x - c) f$ , une équation linéaire du premier ordre.

Bien. Quelle est la forme générale des solutions de cette équation sur $[a, b]$ , et laquelle de tes hypothèses sur $f$ est incompatible avec cette forme ?

L'IA ne donne pas la réponse : elle pose la question qui fait avancer. À toi de continuer.

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Reprends la question 2 là où le dialogue s'arrête, puis la suite de l'exercice.

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