La trace fabrique la géométrie des matrices

Ce qu'on a le droit d'utiliser. Les propriétés de la trace (chapitre 1) ; la formule de la projection orthogonale en base orthonormée, le théorème de la meilleure approximation, l'inégalité de Cauchy-Schwarz et son cas d'égalité. La stratégie de toute la suite tient en une phrase : une trace est un produit scalaire, à condition de trouver contre quelle matrice.

a) Un produit scalaire sur les matrices. Bilinéarité. À $B$ fixée, $A\mapsto {}^{t}AB$ est linéaire (la transposition l'est, le produit matriciel l'est par rapport à chaque facteur), et la trace est linéaire : la composée l'est. De même à $A$ fixée.

Symétrie. Une matrice et sa transposée ont même trace, donc $$\mathrm{tr}({}^{t}AB)=\mathrm{tr}({}^t({}^{t}AB))=\mathrm{tr}({}^{t}BA).$$

Positivité et caractère défini. Le coefficient d'indice $(j,j)$ de ${}^{t}AA$ est le produit de la $j$-ième ligne de ${}^{t}A$ — c'est-à-dire de la $j$-ième colonne de $A$ — par la $j$-ième colonne de $A$ : il vaut ${\sum }_i{a}_{ij}^2$. En sommant sur $j$, $$⟨A,A⟩=\sum _{j=1}^n\sum _{i=1}^n{a}_{ij}^2\ge 0,$$ et une somme de carrés de réels n'est nulle que si chacun l'est : $⟨A,A⟩=0$ entraîne $A=0$. C'est un produit scalaire, et $\Vert A{\Vert }^2={\sum }_{i,j}{a}_{ij}^2$ : c'est le produit scalaire canonique de ${\mathbb{R}}^{n^2}$, les $n^2$ coefficients étant simplement rangés en carré.

Symétriques et antisymétriques sont orthogonales. Soient $S$ symétrique et $T$ antisymétrique. D'une part $⟨S,T⟩=\mathrm{tr}({}^{t}ST)=\mathrm{tr}(ST)$. D'autre part, en transposant, puis en utilisant ${}^{t}T=-T$, ${}^{t}S=S$ et $\mathrm{tr}(TS)=\mathrm{tr}(ST)$ : $$\mathrm{tr}(ST)=\mathrm{tr}\left({}^{t}T{}^{t}S\right)=-\mathrm{tr}(TS)=-\mathrm{tr}(ST).$$ Donc $\mathrm{tr}(ST)=0$ : ${\mathcal{S}}_n(\mathbb{R})\perp {\mathcal{A}}_n(\mathbb{R})$. Deux sous-espaces orthogonaux sont en somme directe (un vecteur orthogonal à lui-même est nul), et l'écriture $$A=\frac{A+{}^{t}A}{2}+\frac{A-{}^{t}A}{2}$$ montre que la somme est ${\mathcal{M}}_n(\mathbb{R})$ tout entier : ils sont supplémentaires et orthogonaux.

La distance. Dans la décomposition ci-dessus, $\frac{A+{}^{t}A}{2}$ appartient à ${\mathcal{S}}_n(\mathbb{R})$ et l'écart $\frac{A-{}^{t}A}{2}$ lui est orthogonal : c'est exactement la caractérisation de la projection orthogonale, et $p_{{\mathcal{S}}_n}(A)=\frac{A+{}^{t}A}{2}$. Le sous-espace ${\mathcal{S}}_n(\mathbb{R})$ est de dimension finie ; le théorème de la meilleure approximation donne $$d(A,{\mathcal{S}}_n(\mathbb{R}))=\Vert A-\frac{A+{}^{t}A}{2}\Vert =\frac{1}{2}\Vert A-{}^{t}A\Vert .$$

Contrôle. Pour $A=\left(\begin{array}{cc}1& 2\\ 0& 1\end{array}\right)$, on a $A-{}^{t}A=\left(\begin{array}{cc}0& 2\\ -2& 0\end{array}\right)$, de norme $\sqrt{8}=2\sqrt{2}$, d'où $d=\sqrt{2}$. Pythagore le confirme : les parties symétrique et antisymétrique ont pour normes au carré $4$ et $2$, et $4+2=6=\Vert A{\Vert }^2$.