mathématiques (PC) · Chapitre 3 · Exercice de TD

Le barycentre est une projection : Huygens et König

Espaces Préhilbertiens Réels et Espaces Euclidiens · B. Orthogonalité, Gram-Schmidt, projection et distance · niveau 2

Énoncé

Soit $V$ un espace euclidien (l'espace physique $R^{3}$ ), $N \geq 2$ points $a_{1}, \dots, a_{N}$ de $V$ affectés de masses $m_{1}, \dots, m_{N} > 0$ , et $M = \sum_{i} m_{i}$ . Sur $W = V^{N}$ , on pose $⟨ (x_{i}), (y_{i}) ⟩_{m} = i = 1 \sum N m_{i} ⟨ x_{i}, y_{i} ⟩ .$

a) Montrer que $⟨ \cdot, \cdot ⟩_{m}$ est un produit scalaire sur $W$ .

b) Soit $D = {(y, y, \dots, y) ∣ y \in V}$ , le sous-espace des configurations d'ensemble. Montrer que la projection orthogonale de $a = (a_{1}, \dots, a_{N})$ sur $D$ est $(g, \dots, g)$ , où $g = \frac{1}{M} \sum_{i} m_{i} a_{i}$ est le barycentre.

c) En déduire, pour tout $y \in V$ , $i = 1 \sum N m_{i} ∥ a_{i} - y ∥^{2} = M ∥ g - y ∥^{2} + i = 1 \sum N m_{i} ∥ a_{i} - g ∥^{2},$ et que $g$ est l'unique point de $V$ où $y \mapsto \sum_{i} m_{i} ∥ a_{i} - y ∥^{2}$ est minimale.

d) (Théorème de Huygens.) Soit $Δ$ une droite affine passant par un point $o$ , de vecteur directeur unitaire $u$ , et $J_{Δ} = \sum_{i} m_{i} d (a_{i}, Δ)^{2}$ le moment d'inertie du système par rapport à $Δ$ . En appliquant le c) aux projetés orthogonaux des points sur le plan $u^{⊥}$ , montrer que $J_{Δ} = J_{Δ_{g}} + M d (g, Δ)^{2}$ , où $Δ_{g}$ est la droite parallèle à $Δ$ passant par $g$ .

e) (Théorème de König.) Des vitesses $v_{1}, \dots, v_{N}$ étant attribuées aux points, montrer que l'énergie cinétique $\frac{1}{2} \sum_{i} m_{i} ∥ v_{i} ∥^{2}$ est la somme de $\frac{1}{2} M ∥ v_{g} ∥^{2}$ , où $v_{g} = \frac{1}{M} \sum_{i} m_{i} v_{i}$ , et de l'énergie cinétique $\frac{1}{2} \sum_{i} m_{i} ∥ v_{i} - v_{g} ∥^{2}$ du mouvement relatif.

Corrigé de la question 1

La stratégie : tout se passe dans l'espace $W$ des configurations, où un système de $N$ points n'est plus qu'un seul vecteur ; les théorèmes de mécanique y deviennent des théorèmes de projection.

a) Le produit scalaire pondéré. $W = V^{N}$ est un espace vectoriel (produit d'espaces vectoriels, opérations composante par composante). Chaque terme $m_{i} ⟨ x_{i}, y_{i} ⟩$ est bilinéaire et symétrique, donc la somme aussi. Positivité : $⟨(x_{i}), (x_{i}) ⟩_{m} = \sum_{i} m_{i} ∥ x_{i} ∥^{2} \geq 0$ . Caractère défini : si cette somme de termes positifs est nulle, chacun l'est, et $m_{i} > 0$ donne $∥ x_{i} ∥ = 0$ , donc $x_{i} = 0$ pour tout $i$ . Ce sont les masses strictement positives qui rendent le produit scalaire défini.

Question 2 : comment l'IA t'aide

Élève

Pour projeter $a$ sur $D$ , je voulais prendre une base orthonormée de $D$ pour $⟨ \cdot, \cdot ⟩_{m}$ , mais les poids $m_{i}$ compliquent tout et je ne sais pas comment normaliser les vecteurs $(e, \dots, e)$ .

Inutile de construire une base : le candidat $(g, \dots, g)$ t'est donné. Quelle caractérisation du projeté orthogonal permet de vérifier qu'un vecteur candidat convient, sans aucun calcul de base ?

Élève

Il faut que $γ = (g, \dots, g)$ soit dans $D$ , ce qui est clair, et que $a - γ$ soit orthogonal à tout $(y, \dots, y)$ . Je dois donc calculer $⟨ a - γ, (y, \dots, y) ⟩_{m}$ pour tout $y \in V$ .

Oui. En développant ce produit scalaire pondéré, que peux-tu mettre en facteur pour n'avoir plus qu'un seul produit scalaire avec $y$ dans $V$ , et quel vecteur apparaît alors dans l'autre membre ?

L'IA ne donne pas la réponse : elle pose la question qui fait avancer. À toi de continuer.

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Reprends la question 2 là où le dialogue s'arrête, puis la suite de l'exercice.

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