Le barycentre est une projection : Huygens et König

La stratégie : tout se passe dans l'espace $W$ des configurations, où un système de $N$ points n'est plus qu'un seul vecteur ; les théorèmes de mécanique y deviennent des théorèmes de projection.

a) Le produit scalaire pondéré. $W=V^N$ est un espace vectoriel (produit d'espaces vectoriels, opérations composante par composante). Chaque terme $m_i⟨x_i,y_i⟩$ est bilinéaire et symétrique, donc la somme aussi. Positivité : $⟨(x_i),(x_i){⟩}_m={\sum }_i{m}_i\Vert x_i{\Vert }^2\ge 0$. Caractère défini : si cette somme de termes positifs est nulle, chacun l'est, et $m_i>0$ donne $\Vert x_i\Vert =0$, donc $x_i=0$ pour tout $i$. Ce sont les masses strictement positives qui rendent le produit scalaire défini.

b) Le barycentre est un projeté. $D$ est un sous-espace de $W$, de dimension $\dim V$, finie : l'application $y\mapsto (y,\dots ,y)$ est linéaire et injective, d'image $D$. Vérifions les deux conditions de la caractérisation pour $\gamma =(g,\dots ,g)$. D'abord $\gamma \in D$. Ensuite, pour tout $(y,\dots ,y)\in D$, $$⟨a-\gamma ,(y,\dots ,y){⟩}_m=\sum _{i=1}^N{m}_i⟨a_i-g,y⟩=⟨\sum _{i=1}^N{m}_i{a}_i-Mg,y⟩=0,$$ puisque ${\sum }_i{m}_i{a}_i=Mg$ par définition du barycentre. L'écart $a-\gamma$ est orthogonal à $D$ : $p_D(a)=(g,\dots ,g)$.

c) Pythagore dans l'espace des configurations. Soit $y\in V$. On décompose $a-(y,\dots ,y)=(a-\gamma )+(\gamma -(y,\dots ,y))$ ; le premier vecteur est orthogonal à $D$ par le b), le second appartient à $D$. Le théorème de Pythagore donne $$\Vert a-(y,\dots ,y){\Vert }_m^2=\Vert a-\gamma {\Vert }_m^2+\Vert (g-y,\dots ,g-y){\Vert }_m^2,$$ ce qui, en revenant à la définition de $\Vert \cdot {\Vert }_m$, est l'identité annoncée : le dernier terme vaut ${\sum }_i{m}_i\Vert g-y{\Vert }^2=M\Vert g-y{\Vert }^2$. Le terme ${\sum }_i{m}_i\Vert a_i-g{\Vert }^2$ ne dépend pas de $y$, et $M\Vert g-y{\Vert }^2$ est positif, nul si et seulement si $y=g$ : $g$ est l'unique point de minimum. C'est le théorème de la meilleure approximation, appliqué à $a$ et au sous-espace $D$.

Contrôle. Masses $m_1=1$ en $a_1=(0,0,0)$ et $m_2=3$ en $a_2=(4,0,0)$ : $M=4$ et $g=(3,0,0)$. Pour $y=0$, le membre de gauche vaut $1\times 0+3\times 16=48$, le membre de droite $4\times 9+(1\times 9+3\times 1)=36+12=48$.

d) Huygens. Notons $q$ la projection orthogonale de $V$ sur le plan $u^{\perp }$. La distance d'un point $x$ à la droite $\Delta$, formée des points $o+tu$, est la distance du vecteur $x-o$ à la droite vectorielle $\mathbb{R}u$, c'est-à-dire la norme de sa composante orthogonale à $u$ : $$d(x,\Delta )=\Vert q(x-o)\Vert =\Vert q(x)-q(o)\Vert .$$ Ainsi $J_{\Delta }={\sum }_i{m}_i\Vert q(a_i)-q(o){\Vert }^2$. Appliquons le c) dans l'espace euclidien $u^{\perp }$, aux points $q(a_i)$ affectés des masses $m_i$ et au point $y=q(o)$ : par linéarité de $q$, leur barycentre est $\frac{1}{M}{\sum }_i{m}_{i}q(a_i)=q(g)$. Donc $$J_{\Delta }=\sum _{i=1}^N{m}_i\Vert q(a_i)-q(g){\Vert }^2+M\Vert q(g)-q(o){\Vert }^2.$$ Par la même formule de distance, appliquée à la droite ${\Delta }_g$ qui passe par $g$ et est dirigée par $u$, le premier terme est ${\sum }_i{m}_{i}d(a_i,{\Delta }_g{)}^2=J_{{\Delta }_g}$ ; le second est $Md(g,\Delta {)}^2$. $J_{\Delta }=J_{{\Delta }_g}+Md(g,\Delta {)}^2$.

e) König. Les vitesses $(v_1,\dots ,v_N)$ forment un vecteur de $W$, et $\frac{1}{2}{\sum }_i{m}_i\Vert v_i{\Vert }^2=\frac{1}{2}\Vert (v_i){\Vert }_m^2$. Le c), appliqué aux « points » $v_i$, dont le barycentre est $v_g$, et à $y=0$, donne $$\sum _{i=1}^N{m}_i\Vert v_i{\Vert }^2=M\Vert v_g{\Vert }^2+\sum _{i=1}^N{m}_i\Vert v_i-v_g{\Vert }^2,$$ et l'on divise par deux. Le vecteur $v_g$ est la vitesse du centre d'inertie (la dérivée de $g$), et les $v_i-v_g$ sont les vitesses dans le référentiel barycentrique : l'énergie cinétique est celle du centre d'inertie affecté de toute la masse, plus celle du mouvement autour de lui.

Ce que l'exercice installe. Un système de $N$ points est un seul vecteur de l'espace des configurations, muni du produit scalaire que pondèrent les masses ; le barycentre y est une projection orthogonale, et les deux théorèmes de transport de la mécanique — Huygens pour les moments d'inertie, König pour l'énergie cinétique — ne sont que le théorème de Pythagore.