Le déterminant de Gram : volume, liberté, distance

La stratégie : la matrice de Gram est ${}^{t}MM$, et tout en découle — liberté, volume, distance.

a) Liberté et volume. Famille liée. S'il existe une colonne non nulle $({\lambda }_j)$ telle que ${\sum }_j{\lambda }_j{u}_j=0$, alors pour tout $i$, ${\sum }_j⟨u_i,u_j⟩{\lambda }_j=⟨u_i,{\sum }_j{\lambda }_j{u}_j⟩=0$ : la colonne $({\lambda }_j)$ est dans le noyau de la matrice de Gram, qui n'est donc pas inversible, et $G=0$.

Famille libre. Écrivons $u_j={\sum }_{k=1}^p{m}_{kj}{e}_k$ ; la $j$-ième colonne de $M$ est celle des coordonnées de $u_j$. La base $(e_k)$ étant orthonormée, $$⟨u_i,u_j⟩=\sum _{k=1}^p{m}_{ki}{m}_{kj}=({}^{t}MM{)}_{ij}.$$ La famille $(u_j)$ est une base de $F$, donc $M$ est inversible, et $$G(u_1,\dots ,u_p)=\det ({}^{t}MM)=\det ({}^{t}M)\det (M)=(\det M{)}^2>0.$$ Interprétation. $|\det M|$ est le volume — l'aire si $p=2$ — du parallélotope construit sur $u_1,\dots ,u_p$, mesuré dans une base orthonormée de $F$ : le déterminant de Gram est le carré de ce volume. Pour deux vecteurs, $G(u,v)=\Vert u{\Vert }^2\Vert v{\Vert }^2-⟨u,v{⟩}^2$, et si $u$ et $v$, non nuls, font l'angle $\theta$, $G(u,v)=\Vert u{\Vert }^2\Vert v{\Vert }^2{\sin }^2\theta$ : le carré de l'aire du parallélogramme. L'inégalité de Cauchy-Schwarz, c'est la positivité d'un déterminant de Gram de taille deux, et son cas d'égalité, c'est l'équivalence « $G=0$ si et seulement si la famille est liée ».

b) Les équations normales. Le projeté $p_F(x)$ appartient à $F$, donc s'écrit de façon unique ${\sum }_j{c}_j{u}_j$. La caractérisation de la projection — $x-p_F(x)$ orthogonal à $F$, c'est-à-dire à chaque $u_i$ — s'écrit $⟨u_i,x-{\sum }_j{c}_j{u}_j⟩=0$ pour tout $i$, soit $$\sum _{j=1}^p⟨u_i,u_j⟩c_j=⟨u_i,x⟩(1\le i\le p).$$ Ce système a pour matrice la matrice de Gram, inversible par le a) : il a une solution unique, et c'est elle qui donne $p_F(x)$. Ces équations sont les équations normales de la méthode des moindres carrés : on projette sans jamais orthonormaliser.

c) La distance comme quotient de volumes. Posons $h=x-p_F(x)=x-{\sum }_j{c}_j{u}_j$. Dans la matrice de Gram de $(u_1,\dots ,u_p,x)$, retranchons à la dernière colonne la combinaison des $p$ premières colonnes de coefficients $c_1,\dots ,c_p$ : ses coefficients deviennent $⟨v,x⟩-{\sum }_j{c}_j⟨v,u_j⟩=⟨v,h⟩$, pour $v$ parcourant $u_1,\dots ,u_p,x$. Retranchons ensuite à la dernière ligne la combinaison des $p$ premières lignes de mêmes coefficients : ses coefficients deviennent $⟨x,w⟩-{\sum }_j{c}_j⟨u_j,w⟩=⟨h,w⟩$, pour $w$ parcourant $u_1,\dots ,u_p,h$. Ces deux opérations ne changent pas le déterminant, et l'on obtient la matrice de Gram de $(u_1,\dots ,u_p,h)$ : $G(u_1,\dots ,u_p,x)=G(u_1,\dots ,u_p,h)$.

Or $h$ est orthogonal à chaque $u_i$ : la matrice de Gram de $(u_1,\dots ,u_p,h)$ est diagonale par blocs, formée du bloc de Gram des $u_i$ et du bloc de taille un égal à $\Vert h{\Vert }^2$. Son déterminant est le produit : $G(u_1,\dots ,u_p,h)=G(u_1,\dots ,u_p)\Vert h{\Vert }^2$. Comme $\Vert h\Vert =d(x,F)$ par le théorème de la meilleure approximation, $$d(x,F{)}^2=\frac{G(u_1,\dots ,u_p,x)}{G(u_1,\dots ,u_p)}.$$ Lecture. Le volume du parallélotope construit sur $u_1,\dots ,u_p,x$ est le volume de sa base, construite sur $u_1,\dots ,u_p$, multiplié par sa hauteur, qui est la distance de $x$ à $F$ : « volume égale base fois hauteur », en toute dimension.

d) La matrice de Hilbert. $⟨t^i,t^j⟩={\int }_0^1{t}^{i+j}\mathrm{d}t=\frac{1}{i+j+1}$ : la matrice de Gram de $(1,t,\dots ,t^{n-1})$ est la matrice de Hilbert $H_n$, de coefficients $\frac{1}{i+j-1}$ pour $1\le i,j\le n$. Sans calcul : la famille $(1,t,\dots ,t^{n-1})$ est libre — une combinaison nulle est un polynôme qui s'annule sur tout $[0,1]$, donc à coefficients nuls —, et par le a), $\det H_n>0$ : $H_n$ est inversible, ce qui n'est pas évident sur ses coefficients.

Les deux déterminants. $$G(1,t)=\det \left(\begin{array}{cc}1& \frac{1}{2}\\ \frac{1}{2}& \frac{1}{3}\end{array}\right)=\frac{1}{3}-\frac{1}{4}=\frac{1}{12},$$ et, en développant selon la première ligne, $$G(1,t,t^2)=\det \left(\begin{array}{ccc}1& \frac{1}{2}& \frac{1}{3}\\ \frac{1}{2}& \frac{1}{3}& \frac{1}{4}\\ \frac{1}{3}& \frac{1}{4}& \frac{1}{5}\end{array}\right)=(\frac{1}{15}-\frac{1}{16})-\frac{1}{2}(\frac{1}{10}-\frac{1}{12})+\frac{1}{3}(\frac{1}{8}-\frac{1}{9}),$$ soit $\frac{1}{240}-\frac{1}{120}+\frac{1}{216}=\frac{9-18+10}{2160}=\frac{1}{2160}$.

Le minimum. La quantité à minimiser est $\Vert t^2-(a+bt){\Vert }^2$, où $a+bt$ parcourt $F=\mathrm{Vect}(1,t)$ : son minimum est $d(t^2,F{)}^2$, et par le c) $$\underset{(a,b)}{\min }{\int }_0^1(t^2-a-bt{)}^2\mathrm{d}t=\frac{G(1,t,t^2)}{G(1,t)}=\frac{12}{2160}=\frac{1}{180}.$$ Le couple optimal. Les équations normales du b), avec $u_1=1$, $u_2=t$, $x=t^2$, $⟨1,t^2⟩=\frac{1}{3}$ et $⟨t,t^2⟩=\frac{1}{4}$, s'écrivent $$\{\begin{array}{l}a+\frac{1}{2}b=\frac{1}{3}\\ \frac{1}{2}a+\frac{1}{3}b=\frac{1}{4}\end{array}$$ En retranchant à la seconde la moitié de la première : $(\frac{1}{3}-\frac{1}{4})b=\frac{1}{4}-\frac{1}{6}$, soit $\frac{b}{12}=\frac{1}{12}$, donc $b=1$, puis $a=\frac{1}{3}-\frac{1}{2}=-\frac{1}{6}$. Le minimum $\frac{1}{180}$ est atteint au seul couple $(a,b)=(-\frac{1}{6},1)$ : la meilleure droite approchant $t\mapsto t^2$ sur $[0,1]$ au sens des moindres carrés est $t\mapsto t-\frac{1}{6}$.

Contrôle direct. ${\int }_0^1(t^2-t+\frac{1}{6}{)}^2\mathrm{d}t=\frac{1}{5}-\frac{1}{2}+\frac{4}{9}-\frac{1}{6}+\frac{1}{36}=\frac{36-90+80-30+5}{180}=\frac{1}{180}$.

Ce que l'exercice installe. Trois lectures d'un même objet, la matrice ${}^{t}MM$. Liberté : une famille est libre si et seulement si son déterminant de Gram est non nul — un test qui ne demande aucune base. Volume : ce déterminant est le carré du volume du parallélotope, et Cauchy-Schwarz en est le cas de deux vecteurs. Distance : le carré de la distance à un sous-espace est un quotient de deux déterminants de Gram, et les coordonnées du projeté sont solutions des équations normales. En chimie, la matrice de Gram d'une famille d'orbitales atomiques est leur matrice de recouvrement. Au TD 4, l'inégalité de Hadamard majorera ce déterminant.