mathématiques (PC) · Chapitre 3 · Exercice de TD

Le déterminant de Gram : volume, liberté, distance

Espaces Préhilbertiens Réels et Espaces Euclidiens · B. Orthogonalité, Gram-Schmidt, projection et distance · niveau 3 (difficile)

Énoncé

Soit $E$ un espace préhilbertien réel. Pour $u_{1}, \dots, u_{p} \in E$ , on note $G (u_{1}, \dots, u_{p}) = det (⟨ u_{i}, u_{j} ⟩)_{1 \leq i, j \leq p}$ le déterminant de Gram de la famille.

a) Montrer que $G (u_{1}, \dots, u_{p}) = 0$ si la famille est liée. Si elle est libre, on note $F$ le sous-espace qu'elle engendre, $(e_{1}, \dots, e_{p})$ une base orthonormée de $F$ et $M$ la matrice des coordonnées des $u_{j}$ dans cette base : montrer que la matrice de Gram $(⟨ u_{i}, u_{j} ⟩)$ vaut $^{t} M M$ , puis que $G (u_{1}, \dots, u_{p}) = (det M)^{2} > 0$ . Que vaut $G (u, v)$ ?

b) On suppose la famille libre et l'on fixe $x \in E$ . Montrer que $p_{F} (x) = \sum_{j} c_{j} u_{j}$ , où $(c_{1}, \dots, c_{p})$ est l'unique solution du système $j = 1 \sum p ⟨ u_{i}, u_{j} ⟩ c_{j} = ⟨ u_{i}, x ⟩ (1 \leq i \leq p) .$

c) Montrer que $d (x, F)^{2} = \frac{G ( u _{1} , \dots , u _{p} , x )}{G ( u _{1} , \dots , u _{p} )} .$ (Justifier qu'on peut remplacer $x$ par $x - p_{F} (x)$ dans $G (u_{1}, \dots, u_{p}, x)$ sans changer sa valeur.)

d) Sur $C ([0, 1], R)$ muni de $\int_{0}^{1} f g$ , identifier la matrice de Gram de $(1, t, \dots, t^{n - 1})$ — la matrice de Hilbert — et justifier sans calcul qu'elle est inversible. Calculer $G (1, t)$ et $G (1, t, t^{2})$ (on doit trouver $\frac{1}{12}$ et $\frac{1}{2160}$ ), et en déduire $(a, b) \in R^{2} min \int_{0}^{1} (t^{2} - a - b t)^{2} d t,$ puis, par le b), le couple $(a, b)$ qui le réalise.

Corrigé de la question 1

La stratégie : la matrice de Gram est $^{t} M M$ , et tout en découle — liberté, volume, distance.

a) Liberté et volume. Famille liée. S'il existe une colonne non nulle $(λ_{j})$ telle que $\sum_{j} λ_{j} u_{j} = 0$ , alors pour tout $i$ , $\sum_{j} ⟨ u_{i}, u_{j} ⟩ λ_{j} = ⟨ u_{i}, \sum_{j} λ_{j} u_{j} ⟩ = 0$ : la colonne $(λ_{j})$ est dans le noyau de la matrice de Gram, qui n'est donc pas inversible, et $G = 0$ .

Famille libre. Écrivons $u_{j} = \sum_{k = 1}^{p} m_{k j} e_{k}$ ; la $j$ -ième colonne de $M$ est celle des coordonnées de $u_{j}$ . La base $(e_{k})$ étant orthonormée, $⟨ u_{i}, u_{j} ⟩ = k = 1 \sum p m_{k i} m_{k j} = (^{t} M M)_{ij} .$ La famille $(u_{j})$ est une base de $F$ , donc $M$ est inversible, et $G (u_{1}, \dots, u_{p}) = det (^{t} M M) = det (^{t} M) det (M) = (det M)^{2} > 0.$ Interprétation. $∣ det M ∣$ est le volume — l'aire si $p = 2$ — du parallélotope construit sur $u_{1}, \dots, u_{p}$ , mesuré dans une base orthonormée de $F$ : le déterminant de Gram est le carré de ce volume. Pour deux vecteurs, $G (u, v) = ∥ u ∥^{2} ∥ v ∥^{2} - ⟨ u, v ⟩^{2}$ , et si $u$ et $v$ , non nuls, font l'angle $θ$ , $G (u, v) = ∥ u ∥^{2} ∥ v ∥^{2} sin^{2} θ$ : le carré de l'aire du parallélogramme. L'inégalité de Cauchy-Schwarz, c'est la positivité d'un déterminant de Gram de taille deux, et son cas d'égalité, c'est l'équivalence « $G = 0$ si et seulement si la famille est liée ».

Question 2 : comment l'IA t'aide

Élève

Je sais que $p_{F} (x)$ s'écrit $\sum_{j} c_{j} u_{j}$ , mais la formule du cours $p_{F} (x) = \sum_{k} ⟨ e_{k}, x ⟩ e_{k}$ demande une base orthonormée, et les $u_{j}$ n'en forment pas une. Je ne vois pas d'où sort le système.

N'utilise pas cette formule : elle obligerait à orthonormaliser. Quelle autre caractérisation de $p_{F} (x)$ connais-tu, qui ne fait intervenir que l'orthogonalité à $F$ ? Et sur quels vecteurs suffit-il de tester cette orthogonalité ?

Élève

$p_{F} (x)$ est l'unique vecteur de $F$ tel que $x - p_{F} (x)$ soit orthogonal à $F$ , et il suffit de le tester sur les $u_{i}$ , qui engendrent $F$ . J'écris donc $⟨ u_{i}, x - \sum_{j} c_{j} u_{j} ⟩ = 0$ pour chaque $i$ .

En développant par linéarité, retrouves-tu le système de l'énoncé ? Et pourquoi ce système a-t-il une solution unique : quelle est sa matrice, et que t'a appris le a) sur elle ?

L'IA ne donne pas la réponse : elle pose la question qui fait avancer. À toi de continuer.

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Reprends la question 2 là où le dialogue s'arrête, puis la suite de l'exercice.

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