Le parallélogramme et l'unicité de la meilleure approximation

La stratégie du b) : deux meilleures approximations distinctes auraient un milieu strictement meilleur, ce qui est absurde ; l'identité du parallélogramme est exactement l'outil qui mesure ce gain.

a) Le test. Avec $x=(1,0)$ et $y=(0,1)$, on a $x+y=(1,1)$ et $x-y=(1,-1)$. Pour $\Vert \cdot {\Vert }_1$ : $\Vert x+y{\Vert }_1^2+\Vert x-y{\Vert }_1^2=4+4=8$, alors que $2\Vert x{\Vert }_1^2+2\Vert y{\Vert }_1^2=2+2=4$. Pour $\Vert \cdot {\Vert }_{\infty }$ : $\Vert x+y{\Vert }_{\infty }^2+\Vert x-y{\Vert }_{\infty }^2=1+1=2$, alors que $2\Vert x{\Vert }_{\infty }^2+2\Vert y{\Vert }_{\infty }^2=4$. Toute norme issue d'un produit scalaire vérifie l'identité du parallélogramme ; ces deux-là ne la vérifient pas : elles ne proviennent d'aucun produit scalaire. L'identité, qui est un théorème pour les normes euclidiennes, devient un test qui refuse les autres. (La réciproque — une norme qui vérifie l'identité du parallélogramme provient d'un produit scalaire, que la polarisation reconstruit — est le théorème de Jordan et von Neumann, traité au TD 5.)

b) L'unicité, sans dimension finie. Notons $\delta =d(x,F)$, $u=x-y$ et $u^{\prime }=x-y^{\prime }$, de sorte que $\Vert u\Vert =\Vert u^{\prime }\Vert =\delta$. L'identité du parallélogramme donne $$\Vert u+u^{\prime }{\Vert }^2+\Vert u-u^{\prime }{\Vert }^2=2\Vert u{\Vert }^2+2\Vert u^{\prime }{\Vert }^2=4{\delta }^2.$$ Or $u+u^{\prime }=2(x-\frac{y+y^{\prime }}{2})$ et $u-u^{\prime }=y^{\prime }-y$. En divisant par $4$ : $$\Vert x-\frac{y+y^{\prime }}{2}{\Vert }^2={\delta }^2-\frac{1}{4}\Vert y-y^{\prime }{\Vert }^2.$$ Le milieu $m=\frac{y+y^{\prime }}{2}$ appartient à $F$, qui est un sous-espace ; par définition de la borne inférieure, $\Vert x-m\Vert \ge \delta$. Donc ${\delta }^2\le {\delta }^2-\frac{1}{4}\Vert y-y^{\prime }{\Vert }^2$, c'est-à-dire $\Vert y-y^{\prime }\Vert =0$ : $y=y^{\prime }$.

Ce qu'on n'a pas utilisé. Ni base, ni projection, ni dimension finie : seulement l'identité du parallélogramme et la stabilité de $F$ par passage au milieu. L'argument vaut donc tel quel pour toute partie stable par milieu de deux de ses points — pour toute partie convexe.

c) Deux normes, une infinité de meilleures approximations. Norme infinie. Pour $y=(t,0)\in F$, $\Vert x-y{\Vert }_{\infty }=\max (|t|,1)\ge 1$, avec égalité si et seulement si $|t|\le 1$. Donc $d(x,F)=1$, atteinte en tous les points $(t,0)$ avec $t\in [-1,1]$ : un segment entier. Norme $\Vert \cdot {\Vert }_1$. Pour $y=(t,t)\in F$, $\Vert x-y{\Vert }_1=|1-t|+|t|\ge |(1-t)+t|=1$ par l'inégalité triangulaire dans $\mathbb{R}$, avec égalité si et seulement si $1-t$ et $t$ sont de même signe, c'est-à-dire $t\in [0,1]$. Donc $d(x,F)=1$, atteinte en tous les points $(t,t)$ avec $t\in [0,1]$. Dans les deux cas, la meilleure approximation n'est pas unique : le b) ne s'applique pas, faute d'identité du parallélogramme.

d) Une sphère sans segment. Pour une norme euclidienne, l'identité du parallélogramme appliquée à $u$ et $v$ donne $$\Vert \frac{u+v}{2}{\Vert }^2=\frac{\Vert u{\Vert }^2+\Vert v{\Vert }^2}{2}-\Vert \frac{u-v}{2}{\Vert }^2=1-\frac{1}{4}\Vert u-v{\Vert }^2<1$$ dès que $u\ne v$ : le milieu de deux points distincts de la sphère unité est strictement à l'intérieur de la boule, et la sphère ne contient aucun segment. Pour $\Vert \cdot {\Vert }_{\infty }$, les vecteurs $u=(1,1)$ et $v=(1,-1)$ sont de norme $1$, et tous les points $(1,s)$, $s\in [-1,1]$, du segment qui les joint aussi : la « sphère » unité de $\Vert \cdot {\Vert }_{\infty }$ est un carré, dont les côtés sont des segments.

Le lien. Dans le c), les meilleures approximations de $x$ forment un segment de $F$ ; les vecteurs $x-y$ correspondants forment un segment contenu dans la sphère de centre $0$ et de rayon $d(x,F)$ — un côté du carré. C'est impossible pour une norme euclidienne, et c'est exactement ce que dit le b), où le milieu de deux meilleures approximations serait strictement meilleur. L'unicité de la meilleure approximation, c'est l'absence de segment sur les sphères.

e) L'unicité n'est pas l'existence. À l'exercice 6, $d(1,H)=0$ alors que $1\notin H$ : une meilleure approximation $h$ vérifierait $\Vert 1-h\Vert =0$, donc $h=1\in H$, ce qui est absurde. Le b) dit qu'il y a au plus une meilleure approximation, dans tout espace préhilbertien et pour tout sous-espace ; qu'il y en ait au moins une est l'affaire du théorème de la meilleure approximation, et c'est là que la dimension finie du sous-espace est indispensable.

Ce que l'exercice installe. Le théorème de la meilleure approximation du cours contient deux énoncés de natures très différentes. L'unicité est une propriété de la norme — l'identité du parallélogramme, c'est-à-dire la rondeur des sphères — et vaut sans aucune hypothèse de dimension. L'existence est une propriété du sous-espace, et demande sa dimension finie. C'est la force de la méthode des moindres carrés : la solution est unique dès qu'elle existe, ce qui n'est pas le cas pour une erreur mesurée par un maximum.