mathématiques (PC) · Chapitre 3 · Exercice de TD

Polynômes orthogonaux : parité et récurrence à trois termes

Espaces Préhilbertiens Réels et Espaces Euclidiens · B. Orthogonalité, Gram-Schmidt, projection et distance · niveau 3 (difficile)

Énoncé

Soient $a < b$ et $w$ une fonction continue et strictement positive sur $[a, b]$ . On munit $R [X]$ de $⟨ P, Q ⟩ = \int_{a}^{b} P (t) Q (t) w (t) d t$ .

a) Justifier que c'est un produit scalaire, et qu'il existe une unique suite $(P_{n})_{n \in N}$ de polynômes unitaires, $P_{n}$ de degré $n$ , deux à deux orthogonaux. Montrer que $P_{n}$ est orthogonal à $R_{n - 1} [X]$ pour $n \geq 1$ .

b) Montrer que $⟨ X P, Q ⟩ = ⟨ P, X Q ⟩$ pour tous $P, Q$ . En décomposant $X P_{n} - P_{n + 1}$ sur $(P_{0}, \dots, P_{n})$ , montrer qu'il existe des réels $b_{n}$ et $c_{n}$ tels que $X P_{n} = P_{n + 1} + b_{n} P_{n} + c_{n} P_{n - 1} (n \geq 1),$ avec $c_{n} = \frac{∥ P _{n} ∥ ^{2}}{∥ P _{n - 1} ∥ ^{2}} > 0$ .

c) On suppose l'intervalle symétrique ( $a = - b$ ) et $w$ paire. Montrer que $P_{n} (- X) = (- 1)^{n} P_{n}$ (utiliser l'unicité du a)), puis que $b_{n} = 0$ .

d) (Legendre.) Pour $[a, b] = [- 1, 1]$ et $w = 1$ , on admet que $c_{n} = \frac{n ^{2}}{4 n ^{2} - 1}$ . Calculer $P_{1}$ , $P_{2}$ et $P_{3}$ par la récurrence, et vérifier $c_{1}$ et $c_{2}$ par le calcul des normes.

Corrigé de la question 1

La stratégie du b) : décomposer sur une base orthogonale, et montrer que presque toutes les coordonnées sont nulles parce que la multiplication par $X$ « passe de l'autre côté » du produit scalaire.

a) Existence et unicité. Produit scalaire. La bilinéarité et la symétrie sont celles de l'intégrale et du produit ; $⟨ P, P ⟩ = \int_{a}^{b} P^{2} w \geq 0$ ; si $⟨ P, P ⟩ = 0$ , la fonction $P^{2} w$ , continue et positive, est nulle sur $[a, b]$ , donc $P$ aussi puisque $w > 0$ : $P$ a une infinité de racines, $P = 0$ .

Existence. Appliquons Gram-Schmidt à la famille libre $(1, X, X^{2}, \dots)$ : on obtient une suite orthonormée $(e_{k})$ telle que $Vect (e_{0}, \dots, e_{k}) = R_{k} [X]$ pour tout $k$ . Ainsi $e_{k} \in R_{k} [X]$ , et $e_{k} \in / R_{k - 1} [X]$ — sinon $e_{k}$ serait orthogonal à lui-même, puisqu'il l'est à $R_{k - 1} [X] = Vect (e_{0}, \dots, e_{k - 1})$ . Donc $e_{k}$ est de degré exactement $k$ , et $P_{k}$ , quotient de $e_{k}$ par son coefficient dominant, convient.

Orthogonalité aux degrés inférieurs. La famille $(P_{0}, \dots, P_{n - 1})$ est de degrés échelonnés, donc une base de $R_{n - 1} [X]$ , et $P_{n}$ est orthogonal à chacun de ses vecteurs : $P_{n}$ est orthogonal à $R_{n - 1} [X]$ .

Unicité. Soit $(Q_{n})$ une autre suite de polynômes unitaires, $Q_{n}$ de degré $n$ , deux à deux orthogonaux. Par le même argument, $Q_{n}$ est orthogonal à $R_{n - 1} [X]$ . Alors $P_{n} - Q_{n}$ est de degré au plus $n - 1$ — les termes dominants, tous deux égaux à $X^{n}$ , se compensent — et orthogonal à $R_{n - 1} [X]$ : il est orthogonal à lui-même, donc nul. $P_{n}$ est l'unique polynôme unitaire de degré $n$ orthogonal à $R_{n - 1} [X]$ — c'est cette caractérisation qui servira au c).

Question 2 : comment l'IA t'aide

Élève

$X P_{n} - P_{n + 1}$ est dans $R_{n} [X]$ ; je le décompose sur $(P_{0}, \dots, P_{n})$ , avec des coordonnées $\frac{⟨ X P _{n} , P _{k} ⟩}{∥ P _{k} ∥ ^{2}}$ . Mais je ne vois pas pourquoi presque toutes seraient nulles.

Sers-toi de la première partie de la question : comment réécrire $⟨ X P_{n}, P_{k} ⟩$ pour que le facteur $X$ passe sur $P_{k}$ ? Quel est alors le degré du polynôme obtenu ?

Élève

$⟨ X P_{n}, P_{k} ⟩ = ⟨ P_{n}, X P_{k} ⟩$ , et $X P_{k}$ est de degré $k + 1$ . Il faudrait comparer $k + 1$ à $n$ .

Pour quels $k$ le a) rend-il cette coordonnée nulle, et quels termes restent ? Pour le coefficient de $P_{n - 1}$ , comment écrire $X P_{n - 1}$ , unitaire de degré $n$ , à l'aide de $P_{n}$ afin de calculer le produit scalaire ?

L'IA ne donne pas la réponse : elle pose la question qui fait avancer. À toi de continuer.

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