mathématiques (PC) · Chapitre 3 · Exercice de TD

Problème : la quadrature de Gauss–Legendre

Espaces Préhilbertiens Réels et Espaces Euclidiens · B. Orthogonalité, Gram-Schmidt, projection et distance · niveau 3 (difficile)

Énoncé

On munit $R [X]$ du produit scalaire $⟨ P, Q ⟩ = \int_{- 1}^{1} P (t) Q (t) d t$ , et l'on fixe $n \geq 1$ .

1) Montrer qu'il existe un unique polynôme unitaire $L_{n}$ de degré $n$ orthogonal à $R_{n - 1} [X]$ (appliquer Gram-Schmidt à $(1, X, \dots, X^{n})$ ), et que $∥ L_{n} ∥ = d (X^{n}, R_{n - 1} [X])$ . Calculer $L_{1}$ , $L_{2}$ , $L_{3}$ , la base orthonormée $(e_{0}, e_{1}, e_{2})$ de $R_{2} [X]$ fournie par Gram-Schmidt, et $d (X^{3}, R_{2} [X])$ .

2) Soient $x_{1} < \dots < x_{k}$ les points de $] - 1, 1 [$ où $L_{n}$ change de signe, c'est-à-dire ses racines de multiplicité impaire situées dans $] - 1, 1 [$ , et $Q = \prod_{i = 1}^{k} (X - x_{i})$ (avec $Q = 1$ si $k = 0$ ). Montrer que $L_{n} Q$ garde un signe constant sur $[- 1, 1]$ , et en déduire que $k = n$ : $L_{n}$ a $n$ racines réelles simples, toutes dans $] - 1, 1 [$ .

3) On note $ℓ_{1}, \dots, ℓ_{n}$ les polynômes de Lagrange associés aux racines $x_{1}, \dots, x_{n}$ , et $w_{i} = \int_{- 1}^{1} ℓ_{i}$ . Montrer que $\int_{- 1}^{1} P = \sum_{i = 1}^{n} w_{i} P (x_{i})$ pour tout $P \in R_{n - 1} [X]$ .

4) Montrer que cette formule reste exacte pour tout $P \in R_{2 n - 1} [X]$ (diviser $P$ par $L_{n}$ ). Montrer qu'aucune formule $\int_{- 1}^{1} P \approx \sum_{i = 1}^{n} α_{i} P (y_{i})$ , à $n$ nœuds et à poids quelconques, n'est exacte sur $R_{2 n} [X]$ .

5) Montrer que $w_{i} = \int_{- 1}^{1} ℓ_{i}^{2} > 0$ pour tout $i$ , et que $\sum_{i} w_{i} = 2$ .

6) (Contrôles.) Pour $n = 2$ , puis $n = 3$ , déterminer les nœuds et les poids. Comparer, pour $\int_{- 1}^{1} e^{t} d t = e - e^{- 1}$ , les formules de Gauss à deux et à trois points et la formule de Simpson $\frac{1}{3} (f (- 1) + 4 f (0) + f (1))$ , qui utilise trois points et est exacte jusqu'au degré $3$ . Énoncer le théorème obtenu.

Corrigé de la question 1

Ce qu'on a le droit d'utiliser. Gram-Schmidt, la meilleure approximation, la base de Lagrange (chapitre 1), la division euclidienne, la factorisation d'un polynôme réel. On ne se servira ni de la formule de Rodrigues ni du théorème de Rolle : l'orthogonalité seule localise les racines.

1) Le polynôme orthogonal unitaire. Existence. Le sous-espace $R_{n - 1} [X]$ est de dimension finie ; notons $p$ la projection orthogonale sur lui, et posons $L_{n} = X^{n} - p (X^{n})$ . C'est un polynôme unitaire de degré $n$ (on retranche à $X^{n}$ un polynôme de degré au plus $n - 1$ ), orthogonal à $R_{n - 1} [X]$ par définition de la projection : c'est, à normalisation près, le vecteur d'indice $n$ que produit Gram-Schmidt appliqué à $(1, X, \dots, X^{n})$ . Unicité. Si $L$ et $L^{'}$ conviennent, $L - L^{'}$ est de degré au plus $n - 1$ (les termes en $X^{n}$ se compensent) et orthogonal à $R_{n - 1} [X]$ : il est orthogonal à lui-même, donc nul. La norme. Par le théorème de la meilleure approximation, $∥ L_{n} ∥ = ∥ X^{n} - p (X^{n}) ∥ = d (X^{n}, R_{n - 1} [X])$ : $L_{n}$ est le polynôme unitaire de degré $n$ de plus petite norme, puisque tout polynôme unitaire de degré $n$ s'écrit $X^{n} - R$ avec $R \in R_{n - 1} [X]$ .

Les trois premiers. $L_{n}$ est le polynôme $P_{n}$ de l'exercice 5 pour le poids $w = 1$ — même caractérisation, donc même polynôme : $L_{1} = X$ , $L_{2} = X^{2} - \frac{1}{3}$ , $L_{3} = X^{3} - \frac{3}{5} X$ , de normes au carré $\frac{2}{3}$ , $\frac{8}{45}$ et $\frac{8}{175}$ , avec $∥1 ∥^{2} = 2$ . Directement : $⟨ X^{3}, 1 ⟩ = ⟨ X^{3}, L_{2} ⟩ = 0$ par imparité, et $\frac{⟨ X ^{3} , X ⟩}{∥ X ∥ ^{2}} = \frac{2/5}{2/3} = \frac{3}{5}$ , donc la projection de $X^{3}$ sur $R_{2} [X]$ , de base orthogonale $(1, X, L_{2})$ , est $\frac{3}{5} X$ . En normalisant $(1, X, L_{2})$ , on obtient $e_{0} = \frac{1}{2}$ , $e_{1} = \frac{3}{2} X$ et $e_{2} = \frac{45}{8} (X^{2} - \frac{1}{3}) = \frac{10}{4} (3 X^{2} - 1)$ .

La distance de $X^{3}$ . $d (X^{3}, R_{2} [X])^{2} = ∥ L_{3} ∥^{2} = \frac{8}{175}$ , soit $d = \frac{2 14}{35} \approx 0, 2138$ . Contrôle par Pythagore : $∥ X^{3} ∥^{2} = \frac{2}{7}$ , $\frac{3}{5} X^{2} = \frac{9}{25} \times \frac{2}{3} = \frac{6}{25}$ , et $\frac{2}{7} - \frac{6}{25} = \frac{50 - 42}{175} = \frac{8}{175}$ .

Question 2 : comment l'IA t'aide

Élève

Dans $L_{n} Q$ , les racines de multiplicité impaire dans $] - 1, 1 [$ deviennent de multiplicité paire. Mais il reste les autres racines, réelles hors de l'intervalle ou complexes : comment m'assurer que le signe est constant sur $[- 1, 1]$ ?

Regroupe en un seul facteur tout ce qui, dans la factorisation de $L_{n}$ , ne correspond pas à une racine située dans $] - 1, 1 [$ . Que peux-tu dire d'un polynôme qui ne s'annule pas sur un intervalle ?

Élève

Il est continu et sans zéro sur $] - 1, 1 [$ , donc de signe constant par les valeurs intermédiaires. Les autres facteurs de $L_{n} Q$ sont des puissances paires, donc positives.

C'est cela. Que peux-tu dire de $\int_{- 1}^{1} L_{n} Q$ compte tenu de ce signe constant, et comment confronter cette information au 1), selon le degré de $Q$ ?

L'IA ne donne pas la réponse : elle pose la question qui fait avancer. À toi de continuer.

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Reprends la question 2 là où le dialogue s'arrête, puis la suite de l'exercice.

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