Projection sur $(1,\cos ,\sin )$ : la meilleure approximation trigonométrique

Stratégie. L'ensemble des fonctions $a+b\cos t+c\sin t$ est exactement $F=\mathrm{Vect}(1,\cos ,\sin )$, un sous-espace de dimension finie du préhilbertien $\mathcal{C}([0,2\pi ],\mathbb{R})$, qui, lui, est de dimension infinie. C'est précisément l'hypothèse du théorème de la meilleure approximation : le minimum existe, il est unique, et il vaut $p_F(f)$. Reste à calculer cette projection — et pour cela il faut d'abord savoir si la famille génératrice est orthogonale, puis se souvenir qu'orthogonale ne veut pas dire orthonormale.

Étape 0 — Le cadre. $⟨f,g⟩={\int }_0^{2\pi }fg$ est bien un produit scalaire sur $\mathcal{C}([0,2\pi ],\mathbb{R})$ : la bilinéarité et la symétrie sont celles de l'intégrale et du produit, la positivité vient de $⟨f,f⟩={\int }_0^{2\pi }{f}^2\ge 0$, et le caractère défini est le seul point où la continuité sert : une fonction continue, positive, d'intégrale nulle est identiquement nulle.

Étape 1 — La famille $(1,\cos ,\sin )$ est orthogonale.

Trois intégrales, et trois seulement (la symétrie du produit scalaire dispense des trois autres) :

$$⟨1,\cos ⟩={\int }_0^{2\pi }\cos t\mathrm{d}t=[\sin t{]}_0^{2\pi }=0-0=0,$$

$$⟨1,\sin ⟩={\int }_0^{2\pi }\sin t\mathrm{d}t=[-\cos t{]}_0^{2\pi }=-1-(-1)=0,$$

$$⟨\cos ,\sin ⟩={\int }_0^{2\pi }\cos t\sin t\mathrm{d}t=\frac{1}{2}{\int }_0^{2\pi }\sin 2t\mathrm{d}t=\frac{1}{2}{\left[-\frac{\cos 2t}{2}\right]}_0^{2\pi }=0.$$

Les trois fonctions sont non nulles, donc, par la proposition du cours, une famille orthogonale de vecteurs non nuls est libre : $(1,\cos ,\sin )$ est une base orthogonale de $F$, et $\dim F=3$. On n'a rien eu à vérifier sur l'engendrement — c'est l'usage courant de cette proposition.

Étape 2 — Les trois normes.

$$\Vert 1{\Vert }^2={\int }_0^{2\pi }1\mathrm{d}t=2\pi ,\Vert \cos {\Vert }^2={\int }_0^{2\pi }\frac{1+\cos 2t}{2}\mathrm{d}t=\frac{2\pi }{2}+0=\pi ,$$

et pour la dernière on évite le calcul : $\Vert \cos {\Vert }^2+\Vert \sin {\Vert }^2={\int }_0^{2\pi }\left({\cos }^2+{\sin }^2\right)={\int }_0^{2\pi }1=2\pi$, d'où $\Vert \sin {\Vert }^2=2\pi -\pi =\pi$. Donc

$$\Vert 1\Vert =\sqrt{2\pi }\approx 2,507,\Vert \cos \Vert =\Vert \sin \Vert =\sqrt{\pi }\approx 1,772.$$

Attention : la famille est orthogonale, pas orthonormale — et les trois normes sont même différentes entre elles. La base orthonormale de $F$ est

$$\left(e_0,e_1,e_2\right)=\left(\frac{1}{\sqrt{2\pi }},\frac{\cos }{\sqrt{\pi }},\frac{\sin }{\sqrt{\pi }}\right).$$

Étape 3 — La meilleure approximation de $f:t\mapsto t$.

Puisque la base est orthogonale sans être orthonormale, c'est la formule avec dénominateurs de l'encadré du cours qu'il faut employer :

$$p_F(f)=\frac{⟨f,1⟩}{\Vert 1{\Vert }^2}\cdot 1+\frac{⟨f,\cos ⟩}{\Vert \cos {\Vert }^2}\cos +\frac{⟨f,\sin ⟩}{\Vert \sin {\Vert }^2}\sin .$$

Oublier les dénominateurs ici donnerait $2{\pi }^2-2\pi \sin t$ au lieu de $\pi -2\sin t$ : ce n'est pas un détail.

Les trois produits scalaires — le premier immédiat, les deux autres par intégration par parties :

$$⟨f,1⟩={\int }_0^{2\pi }t\mathrm{d}t={\left[\frac{t^2}{2}\right]}_0^{2\pi }=2{\pi }^2,$$

$$⟨f,\cos ⟩={\int }_0^{2\pi }t\cos t\mathrm{d}t=[t\sin t+\cos t{]}_0^{2\pi }=(0+1)-(0+1)=0,$$

$$⟨f,\sin ⟩={\int }_0^{2\pi }t\sin t\mathrm{d}t=[-t\cos t+\sin t{]}_0^{2\pi }=(-2\pi +0)-(0+0)=-2\pi .$$

D'où

$$a=\frac{2{\pi }^2}{2\pi }=\pi ,b=\frac{0}{\pi }=0,c=\frac{-2\pi }{\pi }=-2,\boxed{p_F(f):t\mapsto \pi -2\sin t.}$$

Pourquoi $b=0$ ? Pas par imparité sur $[0,2\pi ]$, qui n'est pas symétrique par rapport à $0$ — la symétrie utile est celle par rapport à $t=\pi$. Le changement de variable $u=t-\pi$ ramène l'intégrale à ${\int }_{-\pi }^{\pi }$, où $f(t)-\pi =u$ est impaire tandis que $\cos t=\cos (u+\pi )=-\cos u$ est paire : le produit est impair, l'intégrale est nulle. Le même changement de variable donne $\sin t=-\sin u$, produit pair, intégrale non nulle : $⟨f,\sin ⟩=-2{\int }_0^{\pi }u\sin u\mathrm{d}u=-2\pi$ $✓$. C'est bien cette symétrie, et non une parité illusoire, qui annule un coefficient sur deux.

Étape 4 — La distance, et le contrôle chiffré.

La famille $(1,\cos ,\sin )$ étant orthogonale, le théorème de Pythagore donne la norme de la projection sans repasser par les $e_i$ :

$$\Vert p_F(f){\Vert }^2=a^2\Vert 1{\Vert }^2+b^2\Vert \cos {\Vert }^2+c^2\Vert \sin {\Vert }^2={\pi }^2\cdot 2\pi +0+4\cdot \pi =2{\pi }^3+4\pi \approx 74,579.$$

Par ailleurs $\Vert f{\Vert }^2={\int }_0^{2\pi }{t}^2\mathrm{d}t=\frac{(2\pi {)}^3}{3}=\frac{8{\pi }^3}{3}\approx 82,683$, et le théorème de la meilleure approximation, sous sa forme $\Vert f{\Vert }^2=\Vert p_F(f){\Vert }^2+d(f,F{)}^2$, donne

$$d(f,F{)}^2=\frac{8{\pi }^3}{3}-\left(2{\pi }^3+4\pi \right)=\frac{2{\pi }^3}{3}-4\pi \approx 8,1045,d(f,F)\approx 2,847.$$

Contrôle 1 — par le calcul direct, sans aucune projection. On développe ${\int }_0^{2\pi }{\left(t-\pi +2\sin t\right)}^2\mathrm{d}t$ avec $u=t-\pi$, qui transforme l'intégrande en ${\left(u-2\sin u\right)}^2$ sur $[-\pi ,\pi ]$ :

$${\int }_{-\pi }^{\pi }\left(u^2-4u\sin u+4{\sin }^{2}u\right)\mathrm{d}u=\frac{2{\pi }^3}{3}-4\cdot 2\pi +4\pi =\frac{2{\pi }^3}{3}-4\pi$$

$✓$ — même valeur, obtenue sans jamais parler de projection (on a utilisé ${\int }_{-\pi }^{\pi }u\sin u\mathrm{d}u=2{\int }_0^{\pi }u\sin u\mathrm{d}u=2\pi$ et ${\int }_{-\pi }^{\pi }{\sin }^2=\pi$).

Contrôle 2 — l'écart est bien orthogonal à $F$, ce qui est la caractérisation même de la projection :

$$⟨f-p_F(f),1⟩=2{\pi }^2-\pi \cdot 2\pi =0,⟨f-p_F(f),\cos ⟩=0-0=0,⟨f-p_F(f),\sin ⟩=-2\pi -(-2)\cdot \pi =0$$

$✓$ — les trois sont nuls, donc $f-p_F(f)\in F^{\perp }$ : c'est bien la projection, et l'unicité du théorème dispense d'en chercher une autre.

Contrôle 3 — c'est bien un minimum. En déplaçant légèrement les coefficients, l'écart quadratique doit remonter : pour $\pi -1,9\sin t$ on trouve $8,1359$, et pour $\pi +0,1-2\sin t$ on trouve $8,1673$, tous deux $>8,1045$ $✓$

Contrôle 4 — par Pythagore dans la base orthonormée : $\sum ⟨f,e_i{⟩}^2=\Vert p_F(f){\Vert }^2\approx 74,579\le \Vert f{\Vert }^2\approx 82,683$, et le défaut, $8,1045$, est exactement $d(f,F{)}^2$ : projeter ne peut que raccourcir.

Ce qui est acquis. Les trois coefficients trouvés, $a=\frac{⟨f,1⟩}{2\pi }=\pi$ (la valeur moyenne de $f$), $b=\frac{⟨f,\cos ⟩}{\pi }=0$ et $c=\frac{⟨f,\sin ⟩}{\pi }=-2$, sont les coordonnées de la projection orthogonale de $f$ sur la famille trigonométrique $(1,\cos ,\sin )$ : la fonction $t\mapsto \pi -2\sin t$ n'est pas une approximation parmi d'autres, c'est la meilleure approximation en moyenne quadratique par une combinaison de $1$, $\cos$ et $\sin$. La même méthode vaut pour toute famille trigonométrique orthogonale finie, $(1,\cos t,\sin t,\dots ,\cos nt,\sin nt)$ : c'est une projection sur un sous-espace de dimension finie, et l'inégalité « la somme des carrés des coordonnées est au plus le carré de la norme » n'est que Pythagore.

Dernier avertissement, qui est celui du cours. L'orthogonalité est une propriété du produit scalaire, pas des fonctions. Sur $\mathcal{C}([0,\pi ],\mathbb{R})$ muni de ${\int }_0^{\pi }fg$, la même famille n'est plus orthogonale : $⟨1,\sin ⟩={\int }_0^{\pi }\sin t\mathrm{d}t=2\ne 0$ (les deux autres produits restent nuls). Changer l'intervalle, c'est changer de géométrie.