Deux oscillateurs couplés : la réduction simultanée

Ce qu'on a le droit d'utiliser. Le théorème spectral dans un espace euclidien quelconque — tout endomorphisme autoadjoint admet une base orthonormée de vecteurs propres — et la définition de ${\mathcal{S}}_n^{++}(\mathbb{R})$. La stratégie : la matrice $M^{-1}K$ n'est pas symétrique en général, et le théorème spectral ne s'applique pas pour le produit scalaire canonique ; on change de produit scalaire, en prenant celui que définit l'énergie cinétique, pour lequel elle devient autoadjointe.

a) La matrice de masse est un produit scalaire. $\phi$ est bilinéaire. Elle est symétrique : ${}^{t}XMY$ est un réel, égal à son transposé ${}^{t}Y{}^{t}MX={}^{t}YMX$. Elle est définie positive : c'est la définition de $M\in {\mathcal{S}}_n^{++}(\mathbb{R})$.

b) La réduction simultanée. Autoadjoint pour $\phi$. Comme ${}^{t}K=K$ et ${}^t(M^{-1})=({}^{t}M{)}^{-1}=M^{-1}$, $$\phi (u(X),Y)={}^t(M^{-1}KX)MY={}^{t}XK{M}^{-1}MY={}^{t}XKY,$$ et $\phi (X,u(Y))={}^{t}XM{M}^{-1}KY={}^{t}XKY$ : $u$ est autoadjoint pour $\phi$.

La base des modes. Le théorème spectral, appliqué dans l'espace euclidien ${\mathcal{M}}_{n,1}(\mathbb{R})$ muni de $\phi$, fournit une base $(P_1,\dots ,P_n)$ orthonormée pour $\phi$, formée de vecteurs propres de $u$ : $M^{-1}K{P}_i={\lambda }_i{P}_i$, c'est-à-dire $K{P}_i={\lambda }_{i}M{P}_i$, avec des ${\lambda }_i$ réels. Soit $P$ la matrice de colonnes $P_1,\dots ,P_n$, inversible. Le coefficient $(i,j)$ de ${}^{t}PMP$ est $\phi (P_i,P_j)={\delta }_{ij}$, donc ${}^{t}PMP=I_n$ ; celui de ${}^{t}PKP$ est ${}^t{P}_{i}K{P}_j={\lambda }_j{}^t{P}_{i}M{P}_j={\lambda }_j{\delta }_{ij}$, donc ${}^{t}PKP=D$.

Les ${\lambda }_i$. $\det (K-\lambda M)=\det (M)\det (M^{-1}K-\lambda I_n)$ et $\det M\ne 0$ : les racines sont les valeurs propres de $M^{-1}K$, c'est-à-dire les ${\lambda }_i$. Si $K\in {\mathcal{S}}_n^{+}(\mathbb{R})$, alors ${\lambda }_i={\lambda }_i{}^t{P}_{i}M{P}_i={}^t{P}_{i}K{P}_i\ge 0$.

Le point délicat. Les $P_i$ sont orthonormés pour $\phi$, pas pour le produit scalaire canonique : ${}^{t}PMP=I_n$ n'est pas ${}^{t}PP=I_n$, et $P$ n'est pas orthogonale. C'est le prix à payer pour diagonaliser deux formes à la fois.

c) Les deux chariots. Les matrices. L'énergie potentielle $\frac{1}{2}(2k{x}_1^2+k(x_2-x_1{)}^2)=\frac{k}{2}(3x_1^2-2x_1{x}_2+x_2^2)$ donne $K$, le terme croisé étant réparti en deux coefficients $-1$ ; et $M\ddot{x}+Kx=0$ est le principe fondamental de la dynamique.

Les modes propres. Pour $x(t)=\cos (\omega t)X$, l'équation devient $\cos (\omega t)(K-{\omega }^{2}M)X=0$ pour tout $t$ ; en $t=0$, $KX={\omega }^{2}MX$, et réciproquement cette relation rend l'équation vraie pour tout $t$. Les ${\omega }^2$ sont donc les racines de $$\det (K-{\omega }^{2}M)=(3k-2m{\omega }^2)(k-m{\omega }^2)-k^2=2m^2{\omega }^4-5km{\omega }^2+2k^2.$$ Avec $s=\frac{m{\omega }^2}{k}$, l'équation devient $2s^2-5s+2=0$, de racines $\frac{1}{2}$ et $2$ : ${\omega }_1^2=\frac{k}{2m}$ et ${\omega }_2^2=\frac{2k}{m}$. Pour ${\omega }_1^2$, le système $(K-{\omega }_1^{2}M)X=0$ se réduit à $2x_1-x_2=0$ : mode $X_1=(1,2)$, les deux chariots en phase, le second deux fois plus ample. Pour ${\omega }_2^2$, il se réduit à $x_1+x_2=0$ : mode $X_2=(1,-1)$, en opposition de phase. Le rapport des pulsations vaut $\frac{{\omega }_2}{{\omega }_1}=2$.

Orthogonalité. $\phi (X_1,X_2)=m(2\times 1\times 1+1\times 2\times (-1))=0$, alors que $⟨X_1,X_2⟩=1-2=-1$. Les modes sont orthogonaux pour l'énergie cinétique, pas pour la géométrie usuelle.

d) L'énergie découplée. $\phi (X_1,X_1)=m(2+4)=6m$ et $\phi (X_2,X_2)=m(2+1)=3m$ : la base $\phi$-orthonormée est ${\hat{X}}_1=\frac{X_1}{\sqrt{6m}}$, ${\hat{X}}_2=\frac{X_2}{\sqrt{3m}}$. Soit $P$ la matrice de colonnes ${\hat{X}}_1,{\hat{X}}_2$ : comme au b), ${}^{t}PMP=I_2$ et ${}^{t}PKP=\mathrm{diag}({\omega }_1^2,{\omega }_2^2)$, puisque $K{\hat{X}}_i={\omega }_i^{2}M{\hat{X}}_i$. Avec $x=Pq$ et $\dot{x}=P\dot{q}$, $$\frac{1}{2}{}^t\dot{x}M\dot{x}+\frac{1}{2}{}^{t}xKx=\frac{1}{2}{}^t\dot{q}({}^{t}PMP)\dot{q}+\frac{1}{2}{}^{t}q({}^{t}PKP)q,$$ ce qui vaut $\frac{1}{2}({\dot{q}}_1^2+{\dot{q}}_2^2)+\frac{1}{2}({\omega }_1^2{q}_1^2+{\omega }_2^2{q}_2^2)$. Aucun terme croisé : l'énergie est celle de deux oscillateurs harmoniques indépendants, de pulsations ${\omega }_1$ et ${\omega }_2$. De même, en multipliant $M\ddot{x}+Kx=0$ à gauche par ${}^{t}P$, on obtient ${\ddot{q}}_i+{\omega }_i^2{q}_i=0$ pour chaque $i$ : les équations sont découplées.

Ce que l'exercice installe. Une matrice symétrique définie positive est un produit scalaire, et changer de produit scalaire est un outil : pour celui de l'énergie cinétique, $M^{-1}K$ devient autoadjoint et le théorème spectral s'applique. C'est la réduction simultanée de deux formes quadratiques, dont l'une est définie positive. C'est la théorie des modes propres des physiciens, et celle des modes normaux de vibration des molécules, que la spectroscopie infrarouge observe.