L'inégalité de Hadamard

Ce qu'on a le droit d'utiliser. La caractérisation spectrale de ${\mathcal{S}}_n^{++}(\mathbb{R})$ et le théorème spectral ; le déterminant d'une matrice diagonalisable est le produit de ses valeurs propres, sa trace leur somme ; l'inégalité $\ln x\le x-1$, avec égalité si et seulement si $x=1$ ($\ln$ est concave, sous sa tangente en $1$). La stratégie : une normalisation ramène la diagonale à des $1$ ; la trace vaut alors $n$, et l'inégalité arithmético-géométrique sur le spectre borne le déterminant.

a) La normalisation. $a_{ii}={}^t{e}_{i}A{e}_i>0$ puisque $e_i\ne 0$ : $D$ est bien définie, diagonale à coefficients strictement positifs, donc symétrique et inversible. $B=DAD$ est symétrique, et pour $X\ne 0$, ${}^{t}XBX={}^t(DX)A(DX)>0$ puisque $DX\ne 0$ : $B\in {\mathcal{S}}_n^{++}(\mathbb{R})$. Ses coefficients diagonaux valent $a_{ii}^{-1/2}{a}_{ii}{a}_{ii}^{-1/2}=1$, donc $\mathrm{tr}B=n$.

b) La trace contrôle le déterminant. Soient ${\mu }_1,\dots ,{\mu }_n$ les valeurs propres de $B$, strictement positives, de somme $n$ et de produit $\det B$. En sommant les inégalités $\ln {\mu }_i\le {\mu }_i-1$ : $$\ln \det B=\sum _{i=1}^n\ln {\mu }_i\le \sum _{i=1}^n({\mu }_i-1)=\mathrm{tr}B-n=0,$$ donc $\det B\le 1$ : c'est l'inégalité arithmético-géométrique, la moyenne géométrique des ${\mu }_i$ étant au plus leur moyenne arithmétique, qui vaut $1$. Or $\det B=(\det D{)}^2\det A=\frac{\det A}{{\prod }_i{a}_{ii}}$, d'où $\det A\le {\prod }_{i=1}^n{a}_{ii}$.

c) Le cas d'égalité. L'égalité équivaut à $\det B=1$, donc à l'égalité dans chaque inégalité $\ln {\mu }_i\le {\mu }_i-1$, c'est-à-dire ${\mu }_i=1$ pour tout $i$. Par le théorème spectral, $B=Q\mathrm{diag}({\mu }_i){}^{t}Q$ avec $Q$ orthogonale : si tous les ${\mu }_i$ valent $1$, $B=Q{}^{t}Q=I_n$, et $A=D^{-1}B{D}^{-1}=D^{-2}$ est diagonale. Réciproquement, si $A$ est diagonale, $\det A=\prod a_{ii}$.

Le point délicat. « Toutes les valeurs propres valent $1$ » n'entraîne « $B=I_n$ » que parce que $B$ est diagonalisable, ici par le théorème spectral : la matrice $\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 0& 1\end{array}\right)$ a $1$ pour seule valeur propre sans être l'identité.

d) Le volume d'un parallélépipède. Si $M$ n'est pas inversible, $|\det M|=0\le {\prod }_j\Vert C_j\Vert$, avec égalité si et seulement si l'une des colonnes est nulle. Si $M$ est inversible, $A={}^{t}MM$ est symétrique et définie positive, puisque ${}^{t}X{}^{t}MMX=\Vert MX{\Vert }^2>0$ pour $X\ne 0$, et son coefficient diagonal $a_{jj}={}^t{C}_j{C}_j$ vaut $\Vert C_j{\Vert }^2$. Le b) donne $$(\det M{)}^2=\det ({}^{t}MM)\le \prod _{j=1}^n\Vert C_j{\Vert }^2,$$ d'où $|\det M|\le {\prod }_j\Vert C_j\Vert$, avec égalité si et seulement si ${}^{t}MM$ est diagonale, c'est-à-dire si et seulement si les colonnes sont deux à deux orthogonales, le coefficient $(i,j)$ de ${}^{t}MM$ étant $⟨C_i,C_j⟩$.

Interprétation. $|\det M|$ est le volume du parallélépipède construit sur les colonnes : ce volume est au plus le produit des longueurs des arêtes, avec égalité exactement pour un pavé droit. Contrôle : pour $M=\left(\begin{array}{cc}2& 1\\ 1& 1\end{array}\right)$, $|\det M|=1$, tandis que $\Vert C_1\Vert \Vert C_2\Vert =\sqrt{5}\sqrt{2}=\sqrt{10}\approx 3,16$.

Ce que l'exercice installe. Deux gestes : normaliser la diagonale par une matrice diagonale, ce qui conserve la symétrie et la positivité, pour se ramener à une trace connue ; puis laisser l'inégalité arithmético-géométrique agir sur le spectre : la trace contrôle le déterminant. Lue sur la matrice de Gram ${}^{t}MM$ du TD 3, c'est une inégalité de volume. En cristallographie, le volume d'une maille construite sur trois arêtes de longueurs $a$, $b$, $c$ est au plus $abc$, avec égalité pour une maille à angles droits.