Le principe variationnel de Rayleigh

Soit $A\in {\mathcal{S}}_n(\mathbb{R})$, de valeurs propres ${\lambda }_1\le {\lambda }_2\le \cdots \le {\lambda }_n$. Pour une colonne $X\ne 0$, on pose $R_A(X)=\frac{{}^{t}XAX}{{}^{t}XX}$.

a) Montrer que ${\lambda }_1\le R_A(X)\le {\lambda }_n$ pour tout $X\ne 0$, avec $R_A(X)={\lambda }_1$ si et seulement si $X$ est un vecteur propre associé à ${\lambda }_1$. En déduire que tout coefficient diagonal de $A$ vérifie ${\lambda }_1\le a_{ii}\le {\lambda }_n$.

b) Soit $V$ un vecteur propre unitaire associé à ${\lambda }_1$, et $W$ une colonne orthogonale à $V$. Montrer que pour tout réel $\epsilon$, $$R_A(V+\epsilon W)-{\lambda }_1=\frac{{\epsilon }^2({}^{t}WAW-{\lambda }_1{}^{t}WW)}{1+{\epsilon }^2{}^{t}WW}.$$ Interpréter.

c) Trois masses identiques $m$ sont alignées ; la première est reliée à un mur par un ressort de raideur $k$, chacune à la suivante par un ressort identique, et la troisième est libre. Pour les petits mouvements, les pulsations propres sont les $\sqrt{\lambda k/m}$, où $\lambda$ parcourt les valeurs propres de $$A=\left(\begin{array}{ccc}2& -1& 0\\ -1& 2& -1\\ 0& -1& 1\end{array}\right).$$ Montrer que ${\chi }_A(\lambda )={\lambda }^3-5{\lambda }^2+6\lambda -1$, et que sa plus petite racine ${\lambda }_1$ est comprise entre $0,19$ et $0,20$ ; on ne cherchera pas à la calculer exactement.

d) Le physicien essaie le profil linéaire $X=(1,2,3)$, puis le profil corrigé $X=(4,7,9)$, dont les incréments $4,3,2$ décroissent vers l'extrémité libre. Calculer $R_A(X)$ dans les deux cas, en déduire deux majorations de la pulsation fondamentale, et les comparer à la valeur numérique ${\lambda }_1\approx 0,19806$. Pourquoi l'erreur relative sur la pulsation est-elle environ la moitié de celle sur ${\lambda }_1$ ?