Le principe variationnel de Rayleigh

Ce qu'on a le droit d'utiliser. La forme matricielle du théorème spectral — il existe une base orthonormée de ${\mathbb{R}}^n$ formée de vecteurs propres de $A$ — et la méthode du cours sur les extrema d'une forme quadratique sur la sphère unité ; ${\chi }_A(\lambda )=\det (\lambda I_n-A)$ ; le théorème des valeurs intermédiaires. La stratégie : dans une base orthonormée de vecteurs propres, $R_A(X)$ devient une moyenne pondérée des valeurs propres, et tout se lit sur les poids.

a) Une moyenne des valeurs propres. Soit $(V_1,\dots ,V_n)$ une base orthonormée de vecteurs propres, $A{V}_i={\lambda }_i{V}_i$, et $X={\sum }_i{x}_i{V}_i\ne 0$. Par orthonormalité, ${}^{t}XX={\sum }_i{x}_i^2$ et $${}^{t}XAX=⟨X,AX⟩=\sum _{i=1}^n{\lambda }_i{x}_i^2.$$ Donc $R_A(X)$ est la moyenne des ${\lambda }_i$ pondérée par les poids positifs $\frac{x_i^2}{{\sum }_j{x}_j^2}$, de somme $1$ : elle est comprise entre la plus petite et la plus grande valeur propre. Plus précisément, $$R_A(X)-{\lambda }_1=\frac{{\sum }_i({\lambda }_i-{\lambda }_1)x_i^2}{{\sum }_i{x}_i^2}\ge 0,$$ avec égalité si et seulement si $x_i=0$ pour tout $i$ tel que ${\lambda }_i>{\lambda }_1$, c'est-à-dire si et seulement si $X$ appartient au sous-espace propre de ${\lambda }_1$ : $X$ est un vecteur propre associé à ${\lambda }_1$. De même $R_A(X)\le {\lambda }_n$. Enfin $a_{ii}={}^t{e}_{i}A{e}_i=R_A(e_i)$, d'où ${\lambda }_1\le a_{ii}\le {\lambda }_n$.

b) L'erreur est du second ordre. Utilisons $AV={\lambda }_{1}V$, ${}^{t}VV=1$, ${}^{t}WV=0$ et la symétrie de $A$, qui donne ${}^{t}VAW={}^{t}WAV={\lambda }_1{}^{t}WV=0$. Le numérateur de $R_A(V+\epsilon W)$ vaut ${\lambda }_1+{\epsilon }^2{}^{t}WAW$, son dénominateur $1+{\epsilon }^2{}^{t}WW$, donc $$R_A(V+\epsilon W)-{\lambda }_1=\frac{{\lambda }_1+{\epsilon }^2{}^{t}WAW-{\lambda }_1-{\lambda }_1{\epsilon }^2{}^{t}WW}{1+{\epsilon }^2{}^{t}WW}=\frac{{\epsilon }^2({}^{t}WAW-{\lambda }_1{}^{t}WW)}{1+{\epsilon }^2{}^{t}WW}.$$ Interprétation. Le numérateur est positif par le a). Une erreur d'ordre $\epsilon$ sur le vecteur ne coûte qu'une erreur d'ordre ${\epsilon }^2$ sur la valeur propre, et toujours par excès : c'est le principe variationnel, ${\lambda }_1={\min }_{X\ne 0}{R}_A(X)$, et au voisinage du minimum la fonction est plate.

c) La chaîne fixée à un bout, libre à l'autre. Le modèle. Le principe fondamental de la dynamique donne $m{\ddot{x}}_1=-k{x}_1+k(x_2-x_1)$, $m{\ddot{x}}_2=-k(x_2-x_1)+k(x_3-x_2)$ et $m{\ddot{x}}_3=-k(x_3-x_2)$, soit $m\ddot{X}=-kAX$ ; un mouvement $X(t)=\cos (\omega t)V$ est solution si et seulement si $AV=\frac{m{\omega }^2}{k}V$, d'où les pulsations propres $\sqrt{\lambda k/m}$.

Le polynôme caractéristique. En développant $\det (\lambda I_3-A)$ selon la première ligne, $${\chi }_A(\lambda )=(\lambda -2)[(\lambda -2)(\lambda -1)-1]-(\lambda -1)=(\lambda -2)({\lambda }^2-3\lambda +1)-\lambda +1,$$ et en développant, ${\chi }_A(\lambda )={\lambda }^3-5{\lambda }^2+6\lambda -1$ (contrôle : la trace vaut $5$ et le déterminant $1$).

Localisation de ${\lambda }_1$. Par le théorème spectral, les trois racines de ${\chi }_A$ sont réelles. Aucune n'est négative ou nulle : pour $\lambda \le 0$, les termes ${\lambda }^3$, $-5{\lambda }^2$ et $6\lambda$ sont négatifs ou nuls, donc ${\chi }_A(\lambda )\le -1$. Sur $[0;0,78]$, la dérivée $3{\lambda }^2-10\lambda +6$, dont les racines sont $\frac{5\pm \sqrt{7}}{3}$, soit environ $0,785$ et $2,55$, est strictement positive : ${\chi }_A$ y est strictement croissante et y a au plus une racine. Or ${\chi }_A(0,19)=-0,033641<0$ et ${\chi }_A(0,20)=0,008>0$ : par le théorème des valeurs intermédiaires, ${\chi }_A$ a une racine dans $]0,19;0,20[$, et c'est la plus petite. $0,19<{\lambda }_1<0,20$.

d) Deux profils d'essai. Profil linéaire : $AX=(0,0,1)$, donc ${}^{t}XAX=3$, ${}^{t}XX=14$ et $R_A(X)=\frac{3}{14}\approx 0,2143$. Profil corrigé : $AX=(1,1,2)$, donc ${}^{t}XAX=4+7+18=29$, ${}^{t}XX=16+49+81=146$ et $R_A(X)=\frac{29}{146}\approx 0,19863$. Par le a), ${\lambda }_1\le \frac{29}{146}<\frac{3}{14}$, d'où ${\omega }_1\le 0,4457\sqrt{k/m}$, puis ${\omega }_1\le 0,4629\sqrt{k/m}$ par le profil linéaire. La valeur ${\lambda }_1\approx 0,19806$ donne ${\omega }_1\approx 0,4450\sqrt{k/m}$ : les erreurs relatives sont d'environ $8,2$ % puis $0,29$ % sur ${\lambda }_1$, et d'environ $4,0$ % puis $0,14$ % sur la pulsation.

Pourquoi la moitié. $\omega$ est proportionnelle à $\sqrt{\lambda }$ : si l'estimation vaut ${\lambda }_1(1+\delta )$, la pulsation estimée vaut ${\omega }_1\sqrt{1+\delta }={\omega }_1(1+\frac{\delta }{2}+o(\delta ))$.

D'où vient le profil corrigé. Chaque ressort n'est tendu que par les forces d'inertie des masses situées au-delà de lui : les allongements décroissent vers l'extrémité libre. Le vecteur propre exact est proche de $(4;7,21;8,99)$ ; le b) explique pourquoi un profil exact à quelques pour cent près donne la valeur propre à quelques millièmes près.

Ce que l'exercice installe. La plus petite valeur propre d'une matrice symétrique est un minimum, et c'est ce qui la rend accessible sans la calculer : tout vecteur d'essai en fournit une majoration, d'autant meilleure — au second ordre — que l'essai est proche du vecteur propre. C'est la méthode des variations de la chimie quantique, où toute fonction d'essai majore l'énergie de l'état fondamental, et la méthode de Rayleigh des ingénieurs. Le a) prépare aussi le calcul différentiel d'ordre deux.