mathématiques (PC) · Chapitre 4 · Exercice de TD

Le théorème de Cartan–Dieudonné

Endomorphismes des Espaces Euclidiens et Isométries · D. Réduction et structure des isométries · niveau 3 (difficile)

Énoncé

Soit $E$ un espace euclidien de dimension $n \geq 1$ et $u \in O (E)$ .

a) Soit $x \in E$ tel que $u (x) \neq = x$ , et $s$ la réflexion qui échange $x$ et $u (x)$ (exercice 2). Montrer que $s$ fixe tout vecteur de $Ker (u - id)$ , puis que $Ker (s \circ u - id)$ contient $Ker (u - id) \oplus R x$ .

b) En déduire, par récurrence sur $n - dim Ker (u - id)$ , que $u$ est la composée d'au plus $n - dim Ker (u - id)$ réflexions, l'identité étant la composée de zéro réflexion. En particulier, toute isométrie de $E$ est la composée d'au plus $n$ réflexions.

c) En dimension 2 : montrer que la composée de la réflexion d'axe d'angle polaire $α$ , suivie de celle d'axe d'angle polaire $β$ , est la rotation d'angle $2 (β - α)$ , et retrouver que toute rotation du plan est la composée de deux réflexions.

d) Dans $R^{3}$ , le demi-tour d'axe $R (1, 1, 1)$ a pour matrice $\frac{1}{3} (- 1 22 2 - 1 2 22 - 1)$ . L'écrire comme composée des réflexions d'hyperplans orthogonaux à $(1, - 1, 0)$ et à $(1, 1, - 2)$ , et expliquer pourquoi une seule réflexion ne suffit pas.

Corrigé de la question 1

Ce qu'on a le droit d'utiliser. L'exercice 2 : pour $x \neq = y$ de même norme, la réflexion d'hyperplan $(x - y)^{⊥}$ échange $x$ et $y$ ; une réflexion $s$ vérifie $s \circ s = id$ et $det s = - 1$ ; la description de $O_{2} (R)$ par les matrices $R_{θ}$ et $S_{θ} = (c o s θ s i n θ s i n θ - c o s θ)$ . La stratégie : composer $u$ par une réflexion bien choisie agrandit l'espace des vecteurs fixes, ce qui fournit une récurrence.

a) Une réflexion qui ajoute un vecteur fixe. Comme $∥ u (x) ∥ = ∥ x ∥$ et $u (x) \neq = x$ , l'exercice 2 fournit la réflexion $s$ d'hyperplan $(x - u (x))^{⊥}$ , qui échange $x$ et $u (x)$ . Soit $y \in Ker (u - id)$ . Comme $u$ conserve le produit scalaire et que $u (y) = y$ , $⟨ y, x - u (x)⟩ = ⟨ y, x ⟩ - ⟨ u (y), u (x)⟩ = ⟨ y, x ⟩ - ⟨ y, x ⟩ = 0,$ donc $y$ appartient à l'hyperplan de la réflexion, et $s (y) = y$ . Par suite $s (u (y)) = s (y) = y$ , et $s (u (x)) = x$ . Le sous-espace $Ker (s \circ u - id)$ contient donc $Ker (u - id)$ et $x$ ; comme $x \in / Ker (u - id)$ , la somme de ces deux sous-espaces est directe, et $dim Ker (s \circ u - id) \geq dim Ker (u - id) + 1.$

Le point délicat. C'est la conservation du produit scalaire par $u$ qui rend le vecteur $x - u (x)$ , normal à l'hyperplan de $s$ , orthogonal à tous les vecteurs fixes de $u$ : sans elle, la réflexion détruirait d'un côté ce qu'elle ajoute de l'autre.

Question 2 : comment l'IA t'aide

Élève

D'après le a), $s \circ u$ a strictement plus de vecteurs fixes que $u$ . Mais c'est $s \circ u$ qui relève de l'hypothèse de récurrence, alors que c'est $u$ que je veux décomposer : je ne vois pas comment revenir à $u$ .

Quelle propriété particulière des réflexions permet de « défaire » une composition par $s$ ?

Élève

Une réflexion est involutive, $s \circ s = id$ : en composant $s \circ u$ à gauche par $s$ , je retrouve $u$ , avec une réflexion de plus.

Oui. Comment formules-tu l'hypothèse de récurrence pour qu'elle s'applique à $s \circ u$ , dont tu sais seulement que l'entier $n - dim Ker (\cdot - id)$ a diminué d'au moins un, et que se passe-t-il au rang initial ?

L'IA ne donne pas la réponse : elle pose la question qui fait avancer. À toi de continuer.

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Reprends la question 2 là où le dialogue s'arrête, puis la suite de l'exercice.

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