Le théorème spectral en action

$A$ est symétrique : le théorème spectral s'applique. Du chapitre 2 : $\mathrm{Sp}(A)=\{1,3\}$, $E_1=\mathrm{Vect}(1,-1)$, $E_3=\mathrm{Vect}(1,1)$ — orthogonaux, comme prévu. En normalisant les vecteurs propres : $$P=\frac{1}{\sqrt{2}}\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ -1& 1\end{array}\right)\in {\mathrm{O}}_2(\mathbb{R}),A=P\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 3\end{array}\right)P^{\top }$$ — plus besoin d'inverser $P$ : $P^{-1}=P^{\top }$, tout le bénéfice de l'orthonormalisation. (Géométriquement : l'ellipse $⟨Ax,x⟩=1$ a ses axes selon $e_1,e_2$ — la figure du cours.)