mathématiques (PC) · Chapitre 4 · Exercice de TD

Les matrices orthogonales à coefficients entiers : les 48 symétries du cube

Endomorphismes des Espaces Euclidiens et Isométries · A. Matrices orthogonales et groupe orthogonal · niveau 2

Énoncé

On appelle matrice de permutation signée une matrice carrée qui possède un unique coefficient non nul dans chaque ligne et dans chaque colonne, égal à $1$ ou à $- 1$ . On note $G_{n}$ l'ensemble des matrices de $O_{n} (R)$ à coefficients entiers.

a) Montrer qu'une matrice de permutation signée est orthogonale.

b) Réciproquement, soit $A \in G_{n}$ . Montrer que chaque colonne de $A$ a un unique coefficient non nul, égal à $\pm 1$ , puis que $A$ est une matrice de permutation signée.

c) En déduire que $G_{n}$ compte $2^{n} n!$ éléments, et qu'exactement la moitié d'entre eux ont pour déterminant $1$ (considérer $A \mapsto diag (- 1, 1, \dots, 1) A$ ).

d) Soit $C = [- 1, 1]^{3}$ et $u \in O (R^{3})$ tel que $u (C) = C$ . Montrer que $u$ permute les huit sommets de $C$ (les points de $C$ de norme maximale $3$ ), puis, en écrivant $e_{1} = \frac{1}{2} ((1, 1, 1) + (1, - 1, - 1))$ , que $u (e_{1})$ est l'un des $\pm e_{j}$ . En déduire que les isométries vectorielles qui conservent le cube sont exactement les 48 éléments de $G_{3}$ , dont 24 rotations.

Corrigé de la question 1

Ce qu'on a le droit d'utiliser. Une matrice est orthogonale si et seulement si ses colonnes forment une base orthonormée ; le déterminant change de signe quand on multiplie une ligne par $- 1$ ; le nombre de permutations d'un ensemble à $n$ éléments. La stratégie : l'orthogonalité impose aux colonnes d'être unitaires, et l'intégralité ne laisse qu'une façon d'être unitaire.

a) Les permutations signées sont orthogonales. La colonne $j$ d'une matrice de permutation signée vaut $\pm e_{σ (j)}$ , où $σ (j)$ est la ligne de son coefficient non nul ; comme il y a un seul coefficient non nul par ligne, les $σ (j)$ sont deux à deux distincts. Les colonnes sont donc, au signe près, les vecteurs de la base canonique pris dans un certain ordre : elles sont unitaires et deux à deux orthogonales, et la matrice est orthogonale.

Question 2 : comment l'IA t'aide

b) Réciproquement, soit $A \in G_{n}$ . Montrer que chaque colonne de $A$ a un unique coefficient non nul, égal à $\pm 1$ , puis que $A$ est une matrice de permutation signée.

Élève

Une colonne de $A$ est unitaire, donc $\sum_{i} a_{ij}^{2} = 1$ . Mais une matrice orthogonale peut avoir beaucoup de coefficients non nuls, comme une rotation d'angle quelconque : je ne vois pas ce qui l'interdit ici.

Qu'est-ce qui distingue les coefficients de $A$ de ceux d'une rotation quelconque, et quelles valeurs chaque terme $a_{ij}^{2}$ peut-il alors prendre ?

Élève

Ce sont des entiers, donc chaque $a_{ij}^{2}$ vaut $0$ ou au moins $1$ . Dans une somme égale à $1$ , un seul terme peut être non nul, et il vaut $\pm 1$ .

Bien. Il reste la condition « un seul coefficient non nul par ligne ». Jusqu'ici tu n'as utilisé que la norme des colonnes : quelle autre information sur les colonnes d'une matrice orthogonale l'impose, et comment ?

L'IA ne donne pas la réponse : elle pose la question qui fait avancer. À toi de continuer.

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Reprends la question 2 là où le dialogue s'arrête, puis la suite de l'exercice.

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