Les matrices orthogonales à coefficients entiers : les 48 symétries du cube

Ce qu'on a le droit d'utiliser. Une matrice est orthogonale si et seulement si ses colonnes forment une base orthonormée ; le déterminant change de signe quand on multiplie une ligne par $-1$ ; le nombre de permutations d'un ensemble à $n$ éléments. La stratégie : l'orthogonalité impose aux colonnes d'être unitaires, et l'intégralité ne laisse qu'une façon d'être unitaire.

a) Les permutations signées sont orthogonales. La colonne $j$ d'une matrice de permutation signée vaut $\pm e_{\sigma (j)}$, où $\sigma (j)$ est la ligne de son coefficient non nul ; comme il y a un seul coefficient non nul par ligne, les $\sigma (j)$ sont deux à deux distincts. Les colonnes sont donc, au signe près, les vecteurs de la base canonique pris dans un certain ordre : elles sont unitaires et deux à deux orthogonales, et la matrice est orthogonale.

b) La réciproque. Soit $A\in G_n$ et $j$ fixé. La colonne $j$ est unitaire : ${\sum }_i{a}_{ij}^2=1$, où les $a_{ij}$ sont des entiers. Un entier non nul a un carré au moins égal à $1$ : un seul des $a_{ij}$ est non nul, et il vaut $\pm 1$. Si les coefficients non nuls de deux colonnes distinctes étaient sur la même ligne, leur produit scalaire vaudrait $\pm 1\ne 0$ ; les $n$ coefficients non nuls sont donc sur $n$ lignes distinctes, un par ligne : $A$ est une matrice de permutation signée.

c) Le décompte. Une matrice de permutation signée est déterminée par la ligne du coefficient non nul de chaque colonne — des lignes deux à deux distinctes, soit une permutation, $n!$ choix — et par les signes, $2^n$ choix : $G_n$ compte $2^{n}n!$ éléments. Soit $S=\mathrm{diag}(-1,1,\dots ,1)$, qui appartient à $G_n$. L'application $A\mapsto SA$ change le signe de la première ligne : elle envoie $G_n$ dans $G_n$, et elle est sa propre réciproque puisque $S^2=I_n$, donc c'est une bijection de $G_n$ sur lui-même. Comme $\det (SA)=-\det A$, elle échange les éléments de déterminant $1$ et ceux de déterminant $-1$ : ces deux ensembles ont le même nombre d'éléments, $2^{n-1}n!$ chacun. Pour $n=3$ : $48$ éléments, dont $24$ de déterminant $1$. (Aucune notion de signature d'une permutation n'a servi.)

d) Les symétries du cube. Les sommets. Pour $x\in C$, chaque $|x_i|$ est au plus $1$, donc $\Vert x{\Vert }^2\le 3$, avec égalité si et seulement si $|x_1|=|x_2|=|x_3|=1$ : les points de $C$ de norme $\sqrt{3}$ sont les huit sommets $(\pm 1,\pm 1,\pm 1)$. Si $s$ est un sommet, $u(s)\in u(C)=C$ et $\Vert u(s)\Vert =\sqrt{3}$ : $u(s)$ est un sommet. L'application $u$, injective, envoie l'ensemble fini des sommets dans lui-même : elle les permute.

L'image de $e_1$. $u(e_1)=\frac{1}{2}(u(1,1,1)+u(1,-1,-1))$ est la demi-somme de deux sommets. Les coordonnées d'une telle demi-somme valent $0$ là où les deux sommets diffèrent, $\pm 1$ là où ils coïncident, et le carré de sa norme est le nombre de coordonnées où ils coïncident. Or $\Vert u(e_1)\Vert =\Vert e_1\Vert =1$ : une seule coordonnée est non nulle, et elle vaut $\pm 1$ : $u(e_1)=\pm e_j$. De même $e_2=\frac{1}{2}((1,1,1)+(-1,1,-1))$ et $e_3=\frac{1}{2}((1,1,1)+(-1,-1,1))$ ont pour images des vecteurs $\pm e_j$ : la matrice de $u$ est à coefficients entiers, et $u\in G_3$.

La réciproque. Si $A\in G_3$, l'application $x\mapsto Ax$ permute les coordonnées de $x$ en changeant éventuellement leurs signes : elle conserve le plus grand des $|x_i|$, donc envoie $C$ dans $C$ ; il en va de même de $A^{-1}={}^{t}A$, qui est aussi dans $G_3$, donc $A(C)=C$. Les isométries qui conservent le cube sont exactement les 48 éléments de $G_3$, dont 24 rotations.

Ce que l'exercice installe. Orthogonalité et intégralité rigidifient : une matrice orthogonale à coefficients entiers n'a presque plus de liberté, et il n'y en a qu'un nombre fini. En chimie, le cube et l'octaèdre — celui de l'hexafluorure de soufre, dont les six atomes de fluor sont en $\pm e_j$ — ont ces mêmes 48 symétries, que les chimistes notent $O_h$ ; le méthane du TD 3, inscrit dans le cube, n'en conserve que 24.