mathématiques (PC) · Chapitre 4 · Exercice de TD

Orthogonale et symétrique ; les réflexions de Householder

Endomorphismes des Espaces Euclidiens et Isométries · A. Matrices orthogonales et groupe orthogonal · niveau 2

Énoncé

On travaille dans $R^{n}$ muni de son produit scalaire canonique $⟨ X, Y ⟩ =^{t} X Y$ .

a) Soit $A \in M_{n} (R)$ à la fois orthogonale et symétrique. Montrer que $A^{2} = I_{n}$ , puis que $Ker (A - I_{n})$ et $Ker (A + I_{n})$ sont supplémentaires et orthogonaux : $A$ est la matrice, en base orthonormée, d'une symétrie orthogonale. Établir la réciproque. La relation $A^{2} = I_{n}$ suffit-elle à elle seule ?

b) Soit $u \in M_{n, 1} (R)$ unitaire et $H = I_{n} - 2 u^{t} u$ . Montrer que $H$ est symétrique et orthogonale, que $H u = - u$ et que $H X = X$ pour tout $X$ orthogonal à $u$ : $H$ est la matrice de la réflexion d'hyperplan $u^{⊥}$ . Calculer $det H$ . Contrôle : pour $u = \frac{1}{3} (2, 1, 2)$ , $H = \frac{1}{9} (1 - 4 - 8 - 4 7 - 4 - 8 - 4 1)$ .

c) Soient $x \neq = y$ deux vecteurs de même norme. Montrer que la réflexion associée à $u = \frac{x - y}{∥ x - y ∥}$ échange $x$ et $y$ . Contrôle : pour $x = (1, 2, 2)$ et $y = (3, 0, 0)$ , $H = \frac{1}{3} (122 21 - 2 2 - 2 1)$ .

Corrigé de la question 1

La stratégie : les deux équations $^{t} A = A$ et $^{t} A A = I_{n}$ se croisent en une troisième, $A^{2} = I_{n}$ , qui dit « symétrie » ; la symétrie de $A$ sert une seconde fois pour dire « orthogonale ».

a) Les matrices orthogonales et symétriques. Le carré. En substituant $^{t} A = A$ dans $^{t} A A = I_{n}$ , on obtient $A^{2} = I_{n}$ .

Deux sous-espaces supplémentaires. Pour toute colonne $X$ , $X = \frac{X + A X}{2} + \frac{X - A X}{2}$ , et, grâce à $A^{2} = I_{n}$ , le premier terme est fixé par $A$ , le second changé en son opposé : le premier est dans $F = Ker (A - I_{n})$ , le second dans $G = Ker (A + I_{n})$ . Et $F \cap G = {0}$ , puisque $A X = X$ et $A X = - X$ donnent $X = 0$ . Donc $R^{n} = F \oplus G$ : $A$ est la matrice de la symétrie par rapport à $F$ parallèlement à $G$ .

Orthogonaux. Pour $X \in F$ et $Y \in G$ : $⟨ X, Y ⟩ = ⟨ A X, Y ⟩ =^{t} X^{t} A Y =^{t} X A Y = ⟨ X, A Y ⟩ = - ⟨ X, Y ⟩,$ donc $⟨ X, Y ⟩ = 0$ . Ainsi $G = F^{⊥}$ , et $A$ est la matrice de la symétrie orthogonale par rapport à $F$ . (C'est, en miniature, le point 2 du théorème spectral, qui donnait d'ailleurs tout d'un coup.)

La réciproque. Soit $s$ la symétrie orthogonale par rapport à un sous-espace $F$ de dimension $r$ . Dans une base orthonormée formée d'une base orthonormée de $F$ suivie d'une de $F^{⊥}$ , sa matrice est $D = diag (I_{r}, - I_{n - r})$ , symétrique et orthogonale. Dans la base canonique, sa matrice est $A = P D^{t} P$ avec $P$ orthogonale, d'où $^{t} A = P^{t} D^{t} P = A$ et $^{t} A A = P D^{2}^{t} P = I_{n}$ . Les matrices orthogonales et symétriques sont exactement les matrices, en base orthonormée, des symétries orthogonales.

$A^{2} = I_{n}$ ne suffit pas. La matrice $B = (10 2 - 1)$ vérifie $B^{2} = I_{2}$ ; c'est la symétrie par rapport à $Ker (B - I_{2}) = Vect (1, 0)$ parallèlement à $Ker (B + I_{2}) = Vect (1, - 1)$ , deux droites non orthogonales : une symétrie oblique, ni symétrique ni orthogonale.

Question 2 : comment l'IA t'aide

Élève

Pour l'orthogonalité, je développe $H^{2} = (I_{n} - 2 u^{t} u)^{2}$ et j'obtiens un terme $4 u^{t} u u^{t} u$ que je ne sais pas simplifier.

Regroupe les facteurs du milieu : $^{t} u u$ est une matrice de taille $1 \times 1$ , c'est-à-dire un réel. Lequel, puisque $u$ est unitaire ? Et pourquoi le calcul de $H^{2}$ suffit-il ici pour conclure à l'orthogonalité ?

Élève

$^{t} u u = ∥ u ∥^{2} = 1$ , donc ce terme vaut $4 u^{t} u$ et se compense avec $- 4 u^{t} u$ . Comme $H$ est symétrique, $^{t} H H$ n'est autre que $H^{2}$ .

Pour $det H$ , plutôt qu'un calcul direct : dans quelle base orthonormée, construite à partir de $u$ et de $u^{⊥}$ , la matrice de cette réflexion est-elle la plus simple, et quels sont alors ses coefficients diagonaux ?

L'IA ne donne pas la réponse : elle pose la question qui fait avancer. À toi de continuer.

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