mathématiques (PC) · Chapitre 4 · Exercice de TD

Projecteurs orthogonaux : autoadjoints, passifs, et le paradoxe des trois polariseurs

Endomorphismes des Espaces Euclidiens et Isométries · F. Théorème spectral et positivité · niveau 2

Énoncé

Soit $E$ un espace euclidien et $p$ un projecteur de $E$ ( $p \circ p = p$ ), de sorte que $E = Im p \oplus Ker p$ .

a) Montrer que $p$ est autoadjoint si et seulement si $Ker p$ et $Im p$ sont orthogonaux, c'est-à-dire si et seulement si $p$ est la projection orthogonale sur $Im p$ . En déduire qu'une matrice $A \in S_{n} (R)$ telle que $A^{2} = A$ est la matrice, en base orthonormée, d'une projection orthogonale. La matrice $(1010)$ est-elle celle d'une projection orthogonale de $R^{2}$ euclidien canonique ?

b) Montrer que $p$ est une projection orthogonale si et seulement si $∥ p (x) ∥ \leq ∥ x ∥$ pour tout $x \in E$ . (Pour le sens réciproque, prendre $x \in Im p$ , $y \in Ker p$ , écrire que $∥ x ∥^{2} \leq ∥ x + t y ∥^{2}$ pour tout réel $t$ , et en déduire $⟨ x, y ⟩ = 0$ .) Contrôle : le projecteur de $R^{2}$ sur $Vect (e_{1})$ parallèlement à $Vect (e_{1} + e_{2})$ envoie $(1, - 1)$ , de norme $2$ , sur $(2, 0)$ .

c) Soient $p$ et $q$ deux projections orthogonales. Montrer que $p \circ q$ est autoadjoint si et seulement si $p \circ q = q \circ p$ . En déduire que $p \circ q$ est une projection orthogonale si et seulement si $p$ et $q$ commutent, et qu'elle est alors la projection orthogonale sur $Im p \cap Im q$ .

d) Dans $R^{2}$ euclidien canonique, soit $p_{θ}$ la projection orthogonale sur la droite dirigée par $u_{θ} = (cos θ, sin θ)$ : c'est l'action d'un polariseur idéal d'axe $u_{θ}$ sur le champ électrique d'une onde. Vérifier la loi de Malus, $∥ p_{θ} (x) ∥^{2} = cos^{2} (θ - α) ∥ x ∥^{2}$ si $x$ a pour angle polaire $α$ , et montrer que $p_{β} \circ p_{α}$ a pour matrice $cos (β - α) u_{β}^{t} u_{α}$ . Pour quelles valeurs de $β - α$ est-ce un projecteur ?

e) Une lumière polarisée selon $e_{1}$ , d'intensité $1$ , traverse des polariseurs successifs. Montrer que deux polariseurs croisés ( $p_{π /2} \circ p_{0}$ ) l'éteignent, mais qu'en insérant entre eux un polariseur d'axe incliné à $\frac{π}{4}$ on en transmet le quart. Avec $N$ polariseurs d'angles $\frac{k π}{2 N}$ , $1 \leq k \leq N$ , montrer que l'intensité transmise vaut $cos^{2 N} \frac{π}{2 N}$ , et qu'elle tend vers $1$ .

Corrigé de la question 1

Ce qu'on a le droit d'utiliser. La définition d'un endomorphisme autoadjoint et sa caractérisation matricielle en base orthonormée ; la définition de la projection orthogonale ; Pythagore. Le a) est la caractérisation des projecteurs orthogonaux du cours, que le livre énonce sans démonstration : on la démontre ici.

a) Autoadjoint, c'est orthogonal. Sens direct. Supposons $p$ autoadjoint, et soient $x \in Im p$ — donc $p (x) = x$ — et $y \in Ker p$ . Alors $⟨ x, y ⟩ = ⟨ p (x), y ⟩ = ⟨ x, p (y)⟩ = ⟨ x, 0 ⟩ = 0.$ Sens réciproque. Supposons $Ker p$ orthogonal à $Im p$ , et décomposons $x = x_{1} + x_{2}$ , $y = y_{1} + y_{2}$ selon $Im p \oplus Ker p$ . Alors $p (x) = x_{1}$ , $p (y) = y_{1}$ , et par orthogonalité des deux sous-espaces, $⟨ p (x), y ⟩ = ⟨ x_{1}, y_{1} + y_{2} ⟩ = ⟨ x_{1}, y_{1} ⟩ = ⟨ x_{1} + x_{2}, y_{1} ⟩ = ⟨ x, p (y)⟩ .$ Le lien avec la projection orthogonale. Si $Ker p ⊥ Im p$ , alors $Ker p \subset (Im p)^{⊥}$ , et ces deux sous-espaces ont la même dimension, $n - rg p$ (théorème du rang d'un côté, supplémentaire orthogonal de l'autre) : ils sont égaux, et $p$ est le projecteur sur $Im p$ parallèlement à $(Im p)^{⊥}$ , c'est-à-dire la projection orthogonale sur son image. La réciproque est la définition même.

Les matrices. Si $A \in S_{n} (R)$ vérifie $A^{2} = A$ , l'endomorphisme $X \mapsto A X$ de $R^{n}$ euclidien canonique est un projecteur, autoadjoint puisque sa matrice dans la base canonique, orthonormée, est symétrique : c'est une projection orthogonale. En revanche $A = (1010)$ vérifie $A^{2} = A$ sans être symétrique : c'est le projecteur sur $Im A = Vect (e_{1})$ parallèlement à $Ker A = Vect (1, - 1)$ , deux droites non orthogonales ( $⟨ e_{1}, (1, - 1)⟩ = 1$ ) : ce n'est pas une projection orthogonale. Sans la symétrie, $A^{2} = A$ ne donne qu'une projection oblique.

Question 2 : comment l'IA t'aide

Élève

Pour le sens réciproque, je ne vois pas d'où sort l'inégalité $∥ x ∥^{2} \leq ∥ x + t y ∥^{2}$ de l'indication.

L'hypothèse porte sur $∥ p (z) ∥$ pour tout $z$ . Avec $x \in Im p$ et $y \in Ker p$ , que vaut $p (x + t y)$ ?

Élève

$p (x + t y) = p (x) + t p (y) = x$ , d'où l'inégalité. En développant, $2 t ⟨ x, y ⟩ + t^{2} ∥ y ∥^{2} \geq 0$ pour tout réel $t$ .

Comment fais-tu parler une inégalité valable pour tout $t$ ? Tu peux diviser par $t$ en distinguant $t > 0$ et $t < 0$ , ou raisonner sur un trinôme : que donne chaque voie ? Et quel résultat du a) permet ensuite de conclure ?

L'IA ne donne pas la réponse : elle pose la question qui fait avancer. À toi de continuer.

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Reprends la question 2 là où le dialogue s'arrête, puis la suite de l'exercice.

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