Racine carrée d'une matrice symétrique définie positive

1. Existence de la racine carrée : D'après le théorème spectral (voir Chapitre 4), $A$ est diagonalisable dans une base orthonormale : il existe $P\in {\mathcal{O}}_n(\mathbb{R})$ ($P^{-1}={}^{t}P$) et $D=\mathrm{diag}({\lambda }_1,\dots ,{\lambda }_n)$ avec ${\lambda }_i>0$ pour tout $i$, telles que : $$A=PD{}^{t}P.$$ Posons $\Delta =\mathrm{diag}(\sqrt{{\lambda }_1},\dots ,\sqrt{{\lambda }_n})$. Comme ${\lambda }_i>0$, tous les $\sqrt{{\lambda }_i}$ sont réels et strictement positifs. Posons alors $R=P\Delta {}^{t}P$.

• ${}^{t}R={}^t({}^{t}P){}^t\Delta {}^{t}P=P\Delta {}^{t}P=R$, donc $R$ est symétrique.
• Les valeurs propres de $R$ sont les $\sqrt{{\lambda }_i}>0$, donc $R\in {\mathcal{S}}_n^{++}(\mathbb{R})$.
• $R^2=(P\Delta {}^{t}P)(P\Delta {}^{t}P)=P{\Delta }^2{}^{t}P=PD{}^{t}P=A$.

L'existence est ainsi démontrée.

2. Expression polynomiale et Unicité : Soit $({\mu }_1,\dots ,{\mu }_p)$ l'ensemble des valeurs propres deux à deux distinctes de $A$. Considérons le polynôme d'interpolation de Lagrange $L\in \mathbb{R}[X]$ vérifiant : $$\forall k\in [[1,p]],L({\mu }_k)=\sqrt{{\mu }_k}.$$ Alors $L(D)=\mathrm{diag}(L({\lambda }_1),\dots ,L({\lambda }_n))=\mathrm{diag}(\sqrt{{\lambda }_1},\dots ,\sqrt{{\lambda }_n})=\Delta$. Par conséquent : $$L(A)=L(PD{}^{t}P)=PL(D){}^{t}P=P\Delta {}^{t}P=R.$$ La racine $R$ est donc un polynôme en $A$ : $R=L(A)$. Montrons l'unicité : soit $S\in {\mathcal{S}}_n^{++}(\mathbb{R})$ telle que $S^2=A$. Comme $S$ et $A=S^2$ commutent ($SA=S^3=AS$), $S$ commute avec tout polynôme en $A$, donc en particulier $SR=SL(A)=L(A)S=RS$. Les matrices symétriques $R$ et $S$ commutent, elles sont donc codiagonalisables dans une base orthonormale commune ${\mathcal{B}}_0$ : $$R=Q\mathrm{diag}(r_1,\dots ,r_n){}^{t}Q\text{et}S=Q\mathrm{diag}(s_1,\dots ,s_n){}^{t}Q.$$ L'égalité $R^2=S^2=A$ entraîne que pour tout $i\in [[1,n]]$, $r_i^2=s_i^2$. Comme $R,S\in {\mathcal{S}}_n^{++}(\mathbb{R})$, $r_i>0$ et $s_i>0$. Par stricte positivité, $r_i=\sqrt{r_i^2}=\sqrt{s_i^2}=s_i$ pour tout $i$. On en conclut que $S=R$, ce qui établit l'unicité stricte de la racine carrée symétrique définie positive.