Racine carrée d'une matrice symétrique positive

Par le théorème spectral, $A=PD{}^{t}P$ avec $P$ orthogonale et $D=\mathrm{diag}({\lambda }_1,\dots ,{\lambda }_n)$, où les ${\lambda }_i$ sont positifs (caractérisation spectrale de la positivité). Posons

$$B=P\mathrm{diag}(\sqrt{{\lambda }_1},\dots ,\sqrt{{\lambda }_n}){}^{t}P.$$

$B$ est symétrique (${}^{t}B=B$), positive (son spectre, formé des $\sqrt{{\lambda }_i}$, est positif), et $B^2=P\mathrm{diag}({\lambda }_i){}^{t}P=A$ puisque ${}^{t}PP=I_n$.

Pour $A=\left(\begin{array}{cc}2& 1\\ 1& 2\end{array}\right)$, diagonalisée dans l'exercice résolu « Le théorème spectral en action » : $\mathrm{Sp}(A)=\{1,3\}$ et $P=\frac{1}{\sqrt{2}}\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ -1& 1\end{array}\right)$, d'où $B=P\mathrm{diag}(1,\sqrt{3}){}^{t}P$, soit

$$B=\frac{1}{2}\left(\begin{array}{cc}\sqrt{3}+1& \sqrt{3}-1\\ \sqrt{3}-1& \sqrt{3}+1\end{array}\right).$$

Contrôle : $B^2=\frac{1}{4}\left(\begin{array}{cc}8& 4\\ 4& 8\end{array}\right)=A$. (Cette « racine carrée spectrale » est l'outil des décompositions matricielles — polaire, Cholesky — au cœur du calcul scientifique.)