Un miroir renverse les angles : la conjugaison dans $O_2(\mathbb{R})$

Ce qu'on a le droit d'utiliser. La description de ${\mathrm{O}}_2(\mathbb{R})$ du cours : toute matrice orthogonale $2\times 2$ est une rotation $R_{\theta }$, de déterminant $1$, ou une matrice $S_{\phi }$, de déterminant $-1$ ; la commutativité de ${\mathrm{SO}}_2(\mathbb{R})$, $R_{\theta }{R}_{{\theta }^{\prime }}=R_{\theta +{\theta }^{\prime }}$ ; l'identité $S_a{S}_b=R_{a-b}$ de l'exercice 8. La stratégie : tout se calcule dans une base orthonormée directe, où les rotations ont pour matrices les $R_{\theta }$.

a) Conjuguer une rotation. Dans une base orthonormée directe, $r$ a pour matrice $R_{\theta }$. Si $f$ est directe, sa matrice est une rotation $R_{\phi }$, et par commutativité de ${\mathrm{SO}}_2(\mathbb{R})$, $R_{\phi }{R}_{\theta }{R}_{\phi }^{-1}=R_{\theta }{R}_{\phi }{R}_{\phi }^{-1}=R_{\theta }$ : $f\circ r\circ f^{-1}=r$. Si $f$ est indirecte, sa matrice est une $S_{\phi }$, qui vérifie $S_{\phi }^2=R_0=I_2$, donc $S_{\phi }^{-1}=S_{\phi }$. Un calcul direct, avec les formules d'addition, donne $$S_{\phi }{R}_{\theta }=\left(\begin{array}{cc}\cos (\phi -\theta )& \sin (\phi -\theta )\\ \sin (\phi -\theta )& -\cos (\phi -\theta )\end{array}\right)=S_{\phi -\theta },$$ puis $S_{\phi -\theta }{S}_{\phi }=R_{-\theta }$. Ainsi $S_{\phi }{R}_{\theta }{S}_{\phi }^{-1}=R_{-\theta }=R_{\theta }^{-1}$ : $f\circ r\circ f^{-1}=r^{-1}$, la rotation d'angle $-\theta$.

Lecture géométrique. Conjuguer par $f$, c'est regarder $r$ à travers $f$ : $f\circ r\circ f^{-1}$ fait subir à $f(x)$ ce que $r$ fait subir à $x$. Une isométrie directe conserve les angles orientés, et l'on voit la même rotation ; une isométrie indirecte les renverse, et l'image dans un miroir d'une rotation d'angle $\theta$ est la rotation d'angle $-\theta$.

b) Stabilité et matrices qui commutent avec toutes les autres. Stabilité : par le a), $AR{A}^{-1}$ vaut $R$ ou $R^{-1}$ ; c'est toujours une rotation, de même angle au signe près.

Les matrices qui commutent avec toutes les autres. Soit $A\in {\mathrm{O}}_2(\mathbb{R})$ qui commute avec toute matrice de ${\mathrm{O}}_2(\mathbb{R})$. Elle commute avec $R_{\pi /2}$, c'est-à-dire $A{R}_{\pi /2}{A}^{-1}=R_{\pi /2}$ ; si $A$ était indirecte, le a) donnerait $A{R}_{\pi /2}{A}^{-1}=R_{-\pi /2}\ne R_{\pi /2}$. Donc $A$ est une rotation, $A=R_{\theta }$. Elle commute aussi avec $S_0$ : $S_0{R}_{\theta }{S}_0^{-1}=R_{\theta }$ ; mais le a) donne $S_0{R}_{\theta }{S}_0^{-1}=R_{-\theta }$. Donc $R_{-\theta }=R_{\theta }$, soit $\sin \theta =0$ : $A=I_2$ ou $A=-I_2$. Réciproquement, $\pm I_2$ commutent avec toute matrice.

c) Contrôle. Multiplier à gauche par $S_0$ change le signe de la seconde ligne, à droite celui de la seconde colonne ; les coefficients non diagonaux changent donc de signe, les coefficients diagonaux non : $$S_0{R}_{\pi /3}{S}_0=\left(\begin{array}{cc}\frac{1}{2}& \frac{\sqrt{3}}{2}\\ -\frac{\sqrt{3}}{2}& \frac{1}{2}\end{array}\right)=R_{-\pi /3}.$$

Ce que l'exercice installe. Un miroir renverse le sens de rotation : c'est la chiralité. Conjuguer par une isométrie indirecte change l'angle d'une rotation en son opposé ; c'est ce qui distingue une hélice droite d'une hélice gauche, ou les deux énantiomères d'une molécule chirale. En optique, une solution d'une molécule chirale fait tourner le plan de polarisation de la lumière d'un angle $\theta$, et celle de son énantiomère le fait tourner de $-\theta$ : dextrogyre et lévogyre.