Ce que ${}^{t}AA$ dit de $\Vert AX{\Vert }_2$

Stratégie. Passer au carré fait apparaître la forme quadratique de la matrice symétrique ${}^{t}AA$ ; le théorème spectral la diagonalise en base orthonormée, et la majoration devient une inégalité entre sommes.

a) Symétrie et positivité. ${}^t({}^{t}AA)={}^{t}A{}^t({}^{t}A)={}^{t}AA$ : la matrice $S={}^{t}AA$ est symétrique réelle, donc ses valeurs propres sont réelles (théorème spectral). Si $SX=\lambda X$ avec $X\ne 0$, alors $\lambda {}^{t}XX={}^{t}XSX={}^t(AX)(AX)=\Vert AX{\Vert }_2^2\ge 0$, et comme ${}^{t}XX>0$, $\lambda \ge 0$.

b) La majoration. Pour toute colonne $X$, $\Vert AX{\Vert }_2^2={}^{t}X{}^{t}AAX={}^{t}XSX$. Par le théorème spectral, il existe une base orthonormée $(E_1,\dots ,E_n)$ de vecteurs propres de $S$, avec $S{E}_i={\lambda }_i{E}_i$. En écrivant $X={\sum }_i{x}_i{E}_i$, l'orthonormalité donne $${}^{t}XSX=\sum _{i=1}^n{\lambda }_i{x}_i^2\le \mu \sum _{i=1}^n{x}_i^2=\mu \Vert X{\Vert }_2^2.$$ En prenant la racine carrée : $\Vert AX{\Vert }_2\le \sqrt{\mu }\Vert X{\Vert }_2$ ; et par linéarité, $\Vert AX-AY{\Vert }_2\le \sqrt{\mu }\Vert X-Y{\Vert }_2$.

c) Le contrôle. ${}^{t}AA=\left(\begin{array}{cc}0& 0\\ 2& 0\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}0& 2\\ 0& 0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}0& 0\\ 0& 4\end{array}\right)$, donc $\mu =4$ et $\sqrt{\mu }=2$. Pour $X=(x,y)$, $AX=(2y,0)$ et $\Vert AX{\Vert }_2=2|y|\le 2\sqrt{x^2+y^2}$ : l'inégalité est vérifiée. Or $\mathrm{Sp}(A)=\{0\}$ : les valeurs propres de $A$ ne disent rien de l'amplification $\Vert AX{\Vert }_2$, c'est le spectre de ${}^{t}AA$ qui la contrôle. Pour $A$ symétrique, en revanche, ${}^{t}AA=A^2$ a pour valeurs propres les carrés de celles de $A$, et $\sqrt{\mu }$ est la plus grande valeur absolue d'une valeur propre de $A$.

Ce que l'exercice installe. La forme quadratique ${}^{t}X{}^{t}AAX$ transporte une question sur une matrice quelconque vers une matrice symétrique positive, où le théorème spectral s'applique.