Deux normes non équivalentes sur $\mathbb{R}[X]$, et la constante qui explose

Préliminaire. $\Vert \cdot {\Vert }_1$ est la norme $1$ de la suite des coefficients, qui n'a qu'un nombre fini de termes non nuls. Pour $\Vert \cdot {\Vert }_{\infty }$, la borne supérieure est finie car $|P|$ est continue sur un segment, et la séparation vient de ce qu'un polynôme nul sur $[0,1]$ a une infinité de racines, donc est nul.

La stratégie. Une inégalité est facile ; pour interdire l'autre, on cherche des polynômes petits sur $[0,1]$ mais à très gros coefficients — possibles parce que de gros coefficients de signes alternés se compensent sur $[0,1]$.

a) L'inégalité facile. Pour $t\in [0,1]$, $0\le t^k\le 1$, donc $|P(t)|\le {\sum }_k|a_k|t^k\le \Vert P{\Vert }_1$ ; en passant à la borne supérieure, $\Vert P{\Vert }_{\infty }\le \Vert P{\Vert }_1$.

La suite témoin. Pour $P_n=(1-2X{)}^n$ :

• $\Vert P_n{\Vert }_{\infty }=1$ : pour $t\in [0,1]$, $1-2t\in [-1,1]$, donc $|P_n(t)|\le 1$, avec égalité en $t=0$ ;
• $\Vert P_n{\Vert }_1=3^n$ : par le binôme, $P_n={\sum }_{k=0}^n\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k}\right)(-2{)}^k{X}^k$, donc $\Vert P_n{\Vert }_1={\sum }_{k=0}^n\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k}\right)2^k=(1+2{)}^n$.

Posons $Q_n=3^{-n}{P}_n$. Alors $\Vert Q_n{\Vert }_{\infty }=3^{-n}\to 0$ : $(Q_n)$ converge vers le polynôme nul pour $\Vert \cdot {\Vert }_{\infty }$ ; mais $\Vert Q_n{\Vert }_1=1$ : elle ne converge pas vers $0$ pour $\Vert \cdot {\Vert }_1$. Deux normes équivalentes ont les mêmes suites convergentes (cours) : les deux normes ne sont pas équivalentes sur $\mathbb{R}[X]$. Autrement dit, une inégalité $\Vert P{\Vert }_1\le C\Vert P{\Vert }_{\infty }$ valable pour tout $P$ donnerait $3^n\le C$ pour tout $n$.

Le point délicat : pourquoi ce témoin. Pour tout polynôme, $|P(-1)|\le \Vert P{\Vert }_1$, et pour $P_n$, dont les coefficients alternent de signe, $P_n(-1)=3^n=\Vert P_n{\Vert }_1$. La norme $\Vert \cdot {\Vert }_1$ enregistre ce que fait le polynôme hors de $[0,1]$ ; la norme $\Vert \cdot {\Vert }_{\infty }$ ne regarde que ce segment, où les gros coefficients se compensent.

b) En dimension finie, la constante existe — et elle explose. L'espace ${\mathbb{R}}_n[X]$ est de dimension finie $n+1$ : par le théorème d'équivalence des normes (admis), il existe $C_n>0$ tel que $\Vert P{\Vert }_1\le C_n\Vert P{\Vert }_{\infty }$ pour tout $P\in {\mathbb{R}}_n[X]$. Et $P_n\in {\mathbb{R}}_n[X]$ donne $3^n\le C_n\times 1$ : toute constante valable sur ${\mathbb{R}}_n[X]$ est au moins $3^n$.

Contrôle pour $n=1$. Pour $P=a+bX$, la fonction affine $t\mapsto a+bt$ atteint ses extrêmes aux bornes : $\Vert P{\Vert }_{\infty }=\max (|a|,|a+b|)$, et $\Vert P{\Vert }_1=|a|+|b|\le |a|+|a+b|+|a|\le 3\max (|a|,|a+b|)$. La constante $3$ convient, et $1-2X$ montre qu'aucune plus petite ne conviendrait.

Contrôle chiffré. Le calcul de $\Vert P_n{\Vert }_{\infty }$ sur $200001$ points de $[0,1]$ donne $1,000000$ pour chaque $n$ du tableau :

$n$	$\Vert P_n{\Vert }_{\infty }$	$\Vert P_n{\Vert }_1=3^n$
$2$	$1$	$9$
$5$	$1$	$243$
$10$	$1$	$59049$
$20$	$1$	$3,487\times 10^9$

Le commentaire. Sur chaque ${\mathbb{R}}_n[X]$, les deux normes sont équivalentes, avec une constante au moins égale à $3^n$ ; sur $\mathbb{R}[X]$, réunion de tous les ${\mathbb{R}}_n[X]$, une seule constante devrait servir pour tous les $n$, ce qui est impossible. La dimension infinie, c'est une équivalence qui se dégrade sans limite.

Ce que l'exercice installe. Pour séparer deux normes, on fabrique la suite témoin, et le cas d'égalité d'une inégalité indique où la chercher. Le théorème d'équivalence en dimension finie ne dit rien de la taille de ses constantes : elles dépendent de la dimension. C'est ce qu'on rencontre en calcul numérique, quand une fonction est représentée par ses valeurs en $n$ points : tout est équivalent pour $n$ fixé, avec des constantes qui se dégradent quand le maillage s'affine.