mathématiques (PC) · Chapitre 5 · Exercice de TD

Inégalité triangulaire et convexité de la boule unité

Espaces Vectoriels Normés et Topologie · A. Normes · niveau 3 (difficile)

Énoncé

Soit $E$ un $R$ -espace vectoriel et $N : E \to R_{+}$ une application qui vérifie la séparation et l'homogénéité : pour tous $x \in E$ et $λ \in R$ , $N (x) = 0 ⟺ x = 0$ , et $N (λ x) = ∣ λ ∣ N (x)$ . On note $B = {x \in E ∣ N (x) \leq 1}$ .

a) Montrer que si $N$ est une norme, alors $B$ est convexe.

b) Réciproquement, on suppose $B$ convexe. Pour $x$ et $y$ non nuls, écrire $\frac{x + y}{N ( x ) + N ( y )}$ comme combinaison convexe de $\frac{x}{N ( x )}$ et de $\frac{y}{N ( y )}$ , et en déduire que $N (x + y) \leq N (x) + N (y)$ pour tous $x, y \in E$ .

c) Dessiner $B$ pour $N (x, y) = max (∣ x ∣, 2∣ y ∣)$ sur $R^{2}$ , et en déduire que $N$ est une norme.

d) Pour $p > 0$ , on pose $N_{p} (x, y) = (∣ x ∣^{p} + ∣ y ∣^{p})^{1/ p}$ sur $R^{2}$ . Montrer que $N_{p}$ est une norme pour $p \geq 1$ , et qu'elle n'en est pas une pour $p = \frac{1}{2}$ . Décrire l'évolution de la boule unité de $N_{p}$ quand $p$ vaut $\frac{1}{2}$ , puis $1$ , puis $2$ , puis tend vers $+ \infty$ .

Corrigé de la question 1

Ce qu'on a le droit d'utiliser. La définition d'une norme et celle d'une partie convexe : $C$ est convexe si, pour tous $u, v \in C$ et tout $t \in [0, 1]$ , $t u + (1 - t) v \in C$ . La stratégie : tout le contenu est dans le b), où l'on fait porter à la boule le travail de l'inégalité triangulaire, en se ramenant par homogénéité à des vecteurs de « taille » $1$ .

a) Une norme a une boule unité convexe. Soient $u, v \in B$ et $t \in [0, 1]$ . Par l'inégalité triangulaire, puis l'homogénéité ( $t$ et $1 - t$ sont positifs) : $N (t u + (1 - t) v) \leq t N (u) + (1 - t) N (v) \leq t + (1 - t) = 1.$

Question 2 : comment l'IA t'aide

Élève

Par homogénéité, $\frac{x}{N ( x )}$ et $\frac{y}{N ( y )}$ sont dans $B$ . Mais je ne vois pas comment la convexité d'un ensemble peut produire une inégalité sur $N (x + y)$ .

La convexité te dit qu'un certain point est dans $B$ , donc de « norme » au plus $1$ . Quel point l'énoncé te suggère-t-il de considérer, et comment s'écrit-il à partir de tes deux vecteurs ?

Élève

Le point $\frac{x + y}{N ( x ) + N ( y )}$ . En identifiant les coefficients devant $x$ et devant $y$ , le poids de $\frac{x}{N ( x )}$ doit compenser le $N (x)$ du dénominateur.

Ces deux poids sont-ils positifs et de somme $1$ ? Si oui, que donne la convexité de $B$ , puis l'homogénéité pour sortir le facteur $\frac{1}{N ( x ) + N ( y )}$ ? Et que se passe-t-il si $x$ ou $y$ est nul ?

L'IA ne donne pas la réponse : elle pose la question qui fait avancer. À toi de continuer.

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Reprends la question 2 là où le dialogue s'arrête, puis la suite de l'exercice.

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