Inégalité triangulaire et convexité de la boule unité

Ce qu'on a le droit d'utiliser. La définition d'une norme et celle d'une partie convexe : $C$ est convexe si, pour tous $u,v\in C$ et tout $t\in [0,1]$, $tu+(1-t)v\in C$. La stratégie : tout le contenu est dans le b), où l'on fait porter à la boule le travail de l'inégalité triangulaire, en se ramenant par homogénéité à des vecteurs de « taille » $1$.

a) Une norme a une boule unité convexe. Soient $u,v\in B$ et $t\in [0,1]$. Par l'inégalité triangulaire, puis l'homogénéité ($t$ et $1-t$ sont positifs) : $$N(tu+(1-t)v)\le tN(u)+(1-t)N(v)\le t+(1-t)=1.$$

b) La convexité de la boule donne l'inégalité triangulaire. L'homogénéité avec $\lambda =0$ donne $N(0)=0$ ; si $x=0$ ou $y=0$, l'inégalité est donc une égalité. Supposons $x\ne 0$ et $y\ne 0$ : par séparation, $a=N(x)>0$ et $b=N(y)>0$, et par homogénéité $N\left(\frac{x}{a}\right)=1$ et $N\left(\frac{y}{b}\right)=1$ — ces deux vecteurs sont dans $B$. Or $$\frac{x+y}{a+b}=\frac{a}{a+b}\cdot \frac{x}{a}+\frac{b}{a+b}\cdot \frac{y}{b},$$ combinaison convexe de deux points de $B$ : les coefficients sont dans $[0,1]$ et de somme $1$. Par convexité, $N\left(\frac{x+y}{a+b}\right)\le 1$, et par homogénéité le membre de gauche vaut $\frac{N(x+y)}{a+b}$ : $$N(x+y)\le a+b=N(x)+N(y).$$ Une application séparée et homogène est une norme si et seulement si sa boule unité est convexe.

Le point délicat. L'homogénéité sert deux fois : pour ramener $x$ et $y$ sur la sphère unité, puis pour revenir. Sans elle, la convexité ne dit rien : sur $\mathbb{R}$, $x\mapsto x^2$ est séparée, sa « boule » $[-1,1]$ est convexe, et pourtant $2^2=4>1^2+1^2$.

c) Une norme dont la boule est un rectangle. $N(x,y)=\max (|x|,2|y|)$ est séparée (un maximum de deux réels positifs est nul si et seulement si les deux le sont) et homogène (on factorise $|\lambda |$). Sa boule unité : $$N(x,y)\le 1⟺|x|\le 1\text{ et }|y|\le \frac{1}{2},\text{donc}B=[-1,1]\times \left[-\frac{1}{2},\frac{1}{2}\right].$$ C'est un rectangle de largeur $2$ et de hauteur $1$ : le carré unité de la norme infinie, écrasé de moitié verticalement. Il est convexe — les coordonnées d'une combinaison convexe sont des combinaisons convexes des coordonnées, et restent dans les mêmes intervalles —, donc $N$ est une norme par le b). Elle mesure la seconde coordonnée avec une exigence double.

d) Les normes $N_p$. Séparation et homogénéité, pour tout $p>0$ : une somme de deux réels positifs est nulle si et seulement si les deux le sont, et $N_p(\lambda x,\lambda y)=(|\lambda {|}^p(|x{|}^p+|y{|}^p){)}^{1/p}=|\lambda |N_p(x,y)$.

Pour $p\ge 1$, la boule est convexe. La fonction $\phi :s\mapsto s^p$ est croissante et convexe sur $[0,+\infty [$ : linéaire pour $p=1$, et de dérivée $s\mapsto p{s}^{p-1}$ croissante pour $p>1$. Soient $u=(x,y)$ et $v=(x^{\prime },y^{\prime })$ dans la boule $B_p$, et $t\in [0,1]$. Pour la première coordonnée, $$|tx+(1-t)x^{\prime }{|}^p\le (t|x|+(1-t)|x^{\prime }|{)}^p\le t|x{|}^p+(1-t)|x^{\prime }{|}^p,$$ par l'inégalité triangulaire et la croissance de $\phi$, puis par sa convexité ; de même pour la seconde. En additionnant : $N_p(tu+(1-t)v{)}^p\le t{N}_p(u{)}^p+(1-t)N_p(v{)}^p\le 1$. La boule est convexe, et $N_p$ est une norme : c'est l'inégalité de Minkowski dans le plan, obtenue sans calcul.

Pour $p=\frac{1}{2}$, la boule n'est pas convexe. Les points $(1,0)$ et $(0,1)$ sont sur la sphère unité, mais leur milieu n'est pas dans la boule : $$N_{1/2}\left(\frac{1}{2},\frac{1}{2}\right)={\left(\sqrt{\frac{1}{2}}+\sqrt{\frac{1}{2}}\right)}^2={\left(\frac{2}{\sqrt{2}}\right)}^2=2>1.$$ Par le a), $N_{1/2}$ n'est pas une norme ; directement, $N_{1/2}(1,1)=4>N_{1/2}(1,0)+N_{1/2}(0,1)=2$.

L'évolution des boules. Montrons que $N_q\le N_p$ pour $0<p<q$. Par homogénéité, on peut supposer $\max (|x|,|y|)=1$ ; alors $|x|,|y|\in [0,1]$, donc $s(p)=|x{|}^p+|y{|}^p$ décroît quand $p$ croît et reste au moins égal à $1$ : $$N_q(x,y)=s(q{)}^{1/q}\le s(p{)}^{1/q}\le s(p{)}^{1/p}=N_p(x,y),$$ la dernière inégalité parce que $s(p)\ge 1$ et $\frac{1}{q}<\frac{1}{p}$. Les boules grandissent avec $p$, toutes passant par $(\pm 1,0)$ et $(0,\pm 1)$ : pour $p=\frac{1}{2}$, une étoile à quatre branches aux côtés creusés ; pour $p=1$, le losange ; pour $p=2$, le disque ; et comme $\max (|x|,|y|)\le N_p(x,y)\le 2^{1/p}\max (|x|,|y|)$ avec $2^{1/p}\to 1$, $N_p$ tend vers la norme infinie et les boules remplissent le carré $[-1,1{]}^2$. C'est en $p=1$ que la boule devient convexe, et $N_p$ une norme : pour tout $p<1$, le milieu de $(1,0)$ et $(0,1)$ a pour image $N_p\left(\frac{1}{2},\frac{1}{2}\right)=2^{1/p-1}>1$.

Ce que l'exercice installe. L'inégalité triangulaire, seule vérification difficile, se remplace par une propriété géométrique : séparation, homogénéité, boule unité convexe. C'est la lecture des trois normes usuelles du cours — losange, disque, carré emboîtés — et de la famille qui les relie. En physique, ces normes mesurent un signal différemment : la norme $2$ son énergie, la norme infinie son pic ; une norme pondérée comme celle du c) traduit une tolérance différente sur chaque grandeur mesurée.