L'inversion est continue : Cayley–Hamilton au service de la topologie

Exercice de TD · niveau 3 (difficile) · mathématiques (PC), chapitre 5 — Espaces Vectoriels Normés et Topologie · D. Limite et continuité

Énoncé

Soit $K = R$ ou $C$ et $n \geq 1$ .

a) Montrer que $GL_{n} (K)$ est un ouvert de $M_{n} (K)$ .

b) Pour $A \in M_{n} (K)$ , on écrit $χ_{A} (X) = X^{n} + c_{n - 1} (A) X^{n - 1} + \dots + c_{1} (A) X + c_{0} (A)$ . Montrer que chaque $c_{j}$ est une fonction polynomiale des coefficients de $A$ , en exprimant $χ_{A}$ dans la base de Lagrange associée aux points $0, 1, \dots, n$ .

c) À l'aide du théorème de Cayley–Hamilton, montrer que pour $A \in GL_{n} (K)$ , $A^{- 1} = - \frac{1}{c _{0} ( A )} (A^{n - 1} + c_{n - 1} (A) A^{n - 2} + \dots + c_{1} (A) I_{n}),$ et en déduire que $A \mapsto A^{- 1}$ est continue sur $GL_{n} (K)$ . Contrôler la formule pour $n = 2$ .

d) Soit $(A_{p})$ une suite de matrices qui converge vers $A \in GL_{n} (K)$ , et $(b_{p})$ une suite de colonnes qui converge vers $b$ . Montrer que $A_{p}$ est inversible à partir d'un certain rang, et que la solution de $A_{p} x = b_{p}$ tend vers celle de $A x = b$ .

e) Montrer que $A \mapsto A^{- 1}$ n'est pas lipschitzienne sur $GL_{n} (K)$ , en comparant $ε I_{n}$ et $2 ε I_{n}$ . Interpréter.

Corrigé

La stratégie. L'inversion n'est pas polynomiale : le théorème du cours ne s'applique pas directement. Mais Cayley–Hamilton écrit $A^{- 1}$ comme un polynôme en $A$ , dont les coefficients sont des fonctions polynomiales des coefficients de $A$ divisées par $det A$ ; la continuité en découle par les opérations sur les fonctions continues.

a) $GL_{n} (K)$ est ouvert : c'est l'image réciproque de l'ouvert $K ∖ {0}$ par le déterminant, continu.

b) Les coefficients de $χ_{A}$ sont polynomiaux. $χ_{A} \in K_{n} [X]$ . Soient $L_{0}, \dots, L_{n}$ les polynômes de Lagrange associés aux points distincts $0, 1, \dots, n$ ; tout polynôme de $K_{n} [X]$ s'écrit $P = \sum_{i = 0}^{n} P (i) L_{i}$ (première année), donc $χ_{A} = i = 0 \sum n det (i I_{n} - A) L_{i} .$ Si $ℓ_{i, j}$ désigne le coefficient de $X^{j}$ dans $L_{i}$ — un nombre indépendant de $A$ —, alors $c_{j} (A) = \sum_{i = 0}^{n} ℓ_{i, j} det (i I_{n} - A)$ : une combinaison linéaire de fonctions polynomiales des coefficients de $A$ . Chaque $c_{j}$ est polynomial, donc continu, et $c_{0} (A) = χ_{A} (0) = (- 1)^{n} det A$ .

c) La formule de l'inverse, et la continuité. Le théorème de Cayley–Hamilton donne $χ_{A} (A) = 0$ , soit, en mettant $A$ en facteur dans les $n$ premiers termes : $A (A^{n - 1} + c_{n - 1} (A) A^{n - 2} + \dots + c_{1} (A) I_{n}) = - c_{0} (A) I_{n} .$ Si $A$ est inversible, $c_{0} (A) \neq = 0$ , et $- \frac{1}{c _{0} ( A )} (A^{n - 1} + \dots + c_{1} (A) I_{n})$ est un inverse à droite de $A$ , donc son inverse. Continuité : $A \mapsto A^{k}$ est continue (le produit matriciel l'est), chaque $c_{j}$ l'est, une somme de produits de fonctions continues aussi, et $A \mapsto \frac{1}{c _{0} ( A )}$ est continue sur $GL_{n} (K)$ , où $c_{0}$ ne s'annule pas. L'inversion est continue sur $GL_{n} (K)$ .

Contrôle pour $n = 2$ . $χ_{A} = X^{2} - tr (A) X + det A$ , donc $A^{- 1} = \frac{1}{det A} (tr (A) I_{2} - A),$ et pour $A = (a c b d)$ , $tr (A) I_{2} - A = (d - c - b a)$ : la formule classique en taille $2$ .

d) La solution d'un système dépend continûment des données. $det A_{p} \to det A \neq = 0$ par continuité du déterminant : à partir d'un certain rang, $A_{p}$ est inversible et $x_{p} = A_{p}^{- 1} b_{p}$ . Par le c), $A_{p}^{- 1} \to A^{- 1}$ ; chaque coordonnée $\sum_{j} (A_{p}^{- 1})_{i, j} (b_{p})_{j}$ converge vers $\sum_{j} (A^{- 1})_{i, j} b_{j}$ par les opérations sur les limites. En dimension finie, cela suffit : $x_{p} \to A^{- 1} b$ .

e) L'inversion n'est pas lipschitzienne. Pour $ε > 0$ , $(ε I_{n})^{- 1} - (2 ε I_{n})^{- 1} = \frac{∥ I _{n} ∥}{2 ε}, alors que ∥ ε I_{n} - 2 ε I_{n} ∥ = ε ∥ I_{n} ∥ :$ le quotient vaut $\frac{1}{2 ε ^{2}}$ , non borné quand $ε \to 0$ . Aucune constante $k$ ne peut majorer $∥ A^{- 1} - B^{- 1} ∥$ par $k ∥ A - B ∥$ .

Interprétation, et contrôle. Près des matrices non inversibles, l'inverse varie violemment : une petite erreur de mesure sur une matrice presque singulière change beaucoup la solution. Avec $A = (11 1 1, 001)$ et $b = (2; 2, 001)$ , la solution de $A x = b$ est $(1; 1)$ ; si la seconde coordonnée de $b$ devient $2, 002$ — une erreur relative d'environ $5 \times 1 0^{- 4}$ —, la solution devient $(0; 2)$ , puisque $A (0; 2) = (2; 2, 002)$ . C'est le phénomène du conditionnement.

Le point délicat. La continuité ne se voit pas sur l'inversion, qui n'est pas polynomiale, mais sur la formule de Cayley–Hamilton, où la seule division est par $c_{0} (A) = (- 1)^{n} det A$ , non nul sur l'ouvert $GL_{n} (K)$ . Et la continuité n'est pas quantitative : le e) montre que la sensibilité n'est pas bornée.

Ce que l'exercice installe. Pour prouver une continuité, on écrit l'application comme composée d'opérations continues — et un théorème d'algèbre peut fournir l'écriture. Elle resservira chaque fois qu'une matrice dépend d'un paramètre : si $t \mapsto A (t)$ est continue à valeurs inversibles, $t \mapsto A (t)^{- 1}$ l'est aussi. En physique, un système linéaire bien posé — un réseau électrique, un étalonnage — a une solution qui dépend continûment des mesures ; et « continûment » peut vouloir dire « avec une sensibilité énorme » quand le système est presque dégénéré.

Les autres exercices de ce chapitre Le cours du chapitre

Un blocage sur cet exercice ? Le tuteur d'Adloun guide par questions, sans donner la réponse.