L'inversion est continue : Cayley–Hamilton au service de la topologie

Soit $\mathbb{K}=\mathbb{R}$ ou $\mathbb{C}$ et $n\ge 1$.

a) Montrer que ${\mathrm{GL}}_n(\mathbb{K})$ est un ouvert de ${\mathcal{M}}_n(\mathbb{K})$.

b) Pour $A\in {\mathcal{M}}_n(\mathbb{K})$, on écrit ${\chi }_A(X)=X^n+c_{n-1}(A)X^{n-1}+\cdots +c_1(A)X+c_0(A)$. Montrer que chaque $c_j$ est une fonction polynomiale des coefficients de $A$, en exprimant ${\chi }_A$ dans la base de Lagrange associée aux points $0,1,\dots ,n$.

c) À l'aide du théorème de Cayley–Hamilton, montrer que pour $A\in {\mathrm{GL}}_n(\mathbb{K})$, $$A^{-1}=-\frac{1}{c_0(A)}(A^{n-1}+c_{n-1}(A)A^{n-2}+\cdots +c_1(A)I_n),$$ et en déduire que $A\mapsto A^{-1}$ est continue sur ${\mathrm{GL}}_n(\mathbb{K})$. Contrôler la formule pour $n=2$.

d) Soit $(A_p)$ une suite de matrices qui converge vers $A\in {\mathrm{GL}}_n(\mathbb{K})$, et $(b_p)$ une suite de colonnes qui converge vers $b$. Montrer que $A_p$ est inversible à partir d'un certain rang, et que la solution de $A_{p}x=b_p$ tend vers celle de $Ax=b$.

e) Montrer que $A\mapsto A^{-1}$ n'est pas lipschitzienne sur ${\mathrm{GL}}_n(\mathbb{K})$, en comparant $\epsilon I_n$ et $2\epsilon I_n$. Interpréter.