La constante optimale entre $\Vert x{\Vert }_1$ et $\Vert x{\Vert }_2$

Stratégie. L'inégalité s'obtient en reconnaissant $\Vert x{\Vert }_1$ comme un produit scalaire déguisé, puis en appliquant Cauchy-Schwarz. L'optimalité, elle, se lit dans le cas d'égalité de Cauchy-Schwarz — c'est lui qui désigne le vecteur témoin.

L'inégalité. Munissons ${\mathbb{R}}^n$ de son produit scalaire canonique $⟨u,v⟩={\sum }_{i=1}^n{u}_i{v}_i$. Posons $$u=(1,1,\dots ,1)\text{et}|x|=(|x_1|,|x_2|,\dots ,|x_n|).$$ Alors $$\Vert x{\Vert }_1=\sum _{i=1}^n|x_i|=\sum _{i=1}^{n}1\cdot |x_i|=⟨u,|x|⟩.$$ L'inégalité de Cauchy-Schwarz (première année) donne $$\left|⟨u,|x|⟩\right|\le \Vert u{\Vert }_2\cdot \Vert |x|{\Vert }_2.$$ Or $\Vert u{\Vert }_2=\sqrt{{\sum }_{i=1}^n{1}^2}=\sqrt{n}$ et $\Vert |x|{\Vert }_2=\sqrt{{\sum }_i|x_i{|}^2}=\sqrt{{\sum }_i{x}_i^2}=\Vert x{\Vert }_2$. D'où $$\boxed{\Vert x{\Vert }_1\le \sqrt{n}\Vert x{\Vert }_2\text{pour tout }x\in {\mathbb{R}}^n.}$$

Le point délicat. On applique Cauchy-Schwarz au vecteur des modules $|x|$, et non à $x$ lui-même : avec $x$, on obtiendrait $\left|{\sum }_i{x}_i\right|\le \sqrt{n}\Vert x{\Vert }_2$, ce qui est vrai mais bien plus faible (le membre de gauche n'est pas $\Vert x{\Vert }_1$, et peut même être nul pour $x\ne 0$).

Optimalité de $\sqrt{n}$. Le cas d'égalité dans Cauchy-Schwarz est la colinéarité des deux vecteurs, ici $|x|$ colinéaire à $u=(1,\dots ,1)$ : toutes les coordonnées $|x_i|$ égales. Prenons donc $$x^{\star }=(1,1,\dots ,1).$$ Alors $\Vert x^{\star }{\Vert }_1=n$ et $\Vert x^{\star }{\Vert }_2=\sqrt{n}$, donc $$\frac{\Vert x^{\star }{\Vert }_1}{\Vert x^{\star }{\Vert }_2}=\frac{n}{\sqrt{n}}=\sqrt{n}.$$ La borne est atteinte. Par conséquent $$\underset{x\ne 0}{\sup }\frac{\Vert x{\Vert }_1}{\Vert x{\Vert }_2}=\sqrt{n}\text{(et c’est un maximum)},$$ et aucune constante $C<\sqrt{n}$ ne peut vérifier $\Vert x{\Vert }_1\le C\Vert x{\Vert }_2$ pour tout $x$ : il suffirait de tester $x^{\star }$ pour obtenir $n\le C\sqrt{n}$, soit $C\ge \sqrt{n}$.

Ce que cela dit du couple $(\Vert \cdot {\Vert }_1,\Vert \cdot {\Vert }_2)$. Avec l'inégalité inverse $\Vert x{\Vert }_2\le \Vert x{\Vert }_1$ (exercice résolu 2), on a l'encadrement complet et optimal des deux côtés $$\Vert x{\Vert }_2\le \Vert x{\Vert }_1\le \sqrt{n}\Vert x{\Vert }_2,$$ la borne de gauche étant atteinte par tout vecteur de la base canonique, celle de droite par $(1,\dots ,1)$. Les deux normes sont donc équivalentes — comme le garantit le théorème de la dimension finie —, mais la constante $\sqrt{n}$ se dégrade avec la dimension : les deux normes s'écartent de plus en plus.

Contrôle chiffré ($n=4$, donc $\sqrt{n}=2$).

$x$	$\Vert x{\Vert }_1$	$\Vert x{\Vert }_2$	$2\Vert x{\Vert }_2$	rapport $\Vert x{\Vert }_1/\Vert x{\Vert }_2$
$(1,0,0,0)$	$1$	$1$	$2$	$1$
$(1,2,3,4)$	$10$	$\sqrt{30}\approx 5,4772$	$10,954$	$1,8257$
$(1,1,1,1)$	$4$	$2$	$4$	$2$ — égalité

Un tirage de $200000$ vecteurs gaussiens donne comme rapport maximal observé $1,414214$ en dimension $2$ (contre $\sqrt{2}=1,414214$), $1,732050$ en dimension $3$ (contre $1,732051$) et $3,136$ en dimension $10$ (contre $3,162$) : le sup est approché d'autant plus lentement que la dimension est grande, mais jamais dépassé.